( 20 pontos) Encontre a única solução do problema do valor inicial,
\frac{d y}{d x}+\frac{4}{x} y=6 x-5 ; \quad y(1)=1, \quad x>0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + \frac{4}{x}\,y = 6x - 5,
com condição inicial y(1)=1 para x>0. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x):
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{4}{x}\,dx\Bigr) = \exp(4\ln x) = x^4.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por x^4:
x^4\frac{dy}{dx} + 4x^3 y = 6x^5 - 5x^4.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^4 y, pois
\frac{d}{dx}(x^4 y) = x^4\frac{dy}{dx} + 4x^3 y.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^4 y = \int\bigl(6x^5 - 5x^4\bigr)\,dx = x^6 - x^5 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y e aplicamos a condição y(1)=1:
y = \frac{x^6 - x^5 + C}{x^4} = x^2 - x + Cx^{-4},
e em x=1:
1 = 1^2 - 1 + C\cdot1^{-4} \;\Longrightarrow\; C = 1.

Passo 6

Substituindo C=1 na solução geral, obtemos
y(x) = x^2 - x + x^{-4}.

Resposta

y(x) = x^2 - x + x^{-4}.

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