( \mathbf{2 0} pontos)
Considere a equação do tipo Bernoulli, y^{\prime}(x)+y(x)=4 e^{x} y^{3}, use a substituição z=y^{1-n} para o n apropriado e escreva a equação linear resultante. (não precisa resolver)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Bernoulli
y'(x) + y(x) = 4\,e^{x}\,y^{3}
que tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com P(x)=1, Q(x)=4\,e^{x} e n=3. Para reduzir a uma equação linear em z, usamos a substituição
z = y^{1-n} = y^{-2}

Passo 2

Derivando z em relação a x temos
z' = -2\,y^{-3}\,y'
e, como
y' = 4\,e^{x}\,y^{3} - y,
segue que
z' = -2\,y^{-3}\bigl(4\,e^{x}\,y^{3} - y\bigr) = -8\,e^{x} + 2\,y^{-2} = -8\,e^{x} + 2\,z.
Reorganizando no formato padrão de uma equação linear em z, obtemos
z' - 2\,z = -8\,e^{x}

Resposta

z' - 2\,z = -8\,e^{x}

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