(1,2 pontos) Calcule a integral:
\int_{0}^{1}\left(t e^{t} \vec{i}+\ln t \vec{j}+\sqrt{t} \vec{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de um campo vetorial ao longo de t de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(t e^{t}\,\vec{i}+\ln t\,\vec{j}+\sqrt{t}\,\vec{k}\bigr)\,dt.
Como é um integral vetorial, vamos integrar cada componente separadamente:
  1. A componente em \vec{i} é \displaystyle\int_{0}^{1}t e^{t}\,dt, que faremos por partes.
  2. A componente em \vec{j} é \displaystyle\int_{0}^{1}\ln t\,dt, um integral impróprio que usa a primitiva t\ln t - t.
  3. A componente em \vec{k} é \displaystyle\int_{0}^{1}t^{1/2}\,dt, que resolve pelo uso da regra do poder.

Passo 2

Calcular \displaystyle\int_{0}^{1}t e^{t}\,dt por partes, tomando
u = t,\quad dv = e^{t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad du = dt,\quad v = e^{t}.
Então
\int t e^{t}\,dt = u\,v - \int v\,du = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C.
Avaliando de 0 a 1:
\Bigl[t e^{t} - e^{t}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(1\cdot e - e\bigr) - \bigl(0\cdot1 - 1\bigr) = 0 - (-1) = 1.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int_{0}^{1}\ln t\,dt. A primitiva é
\int \ln t\,dt = t\ln t - t + C.
Logo
\Bigl[t\ln t - t\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(1\cdot0 - 1\bigr) - \lim_{t\to0^+}\bigl(t\ln t - t\bigr).
Como \lim_{t\to0^+}t\ln t = 0 e \lim_{t\to0^+}(-t)=0, o segundo termo some, ficando
-1 - 0 = -1.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int_{0}^{1}t^{1/2}\,dt pelo poder:
\int t^{1/2}\,dt = \frac{t^{3/2}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}t^{3/2} + C.
Avaliando de 0 a 1:
\frac{2}{3}\bigl(1^{3/2}-0^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}.

Passo 5

Juntando as três componentes, o integral vetorial vale
\Bigl(1\Bigr)\,\vec{i} + \bigl(-1\bigr)\,\vec{j} + \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)\,\vec{k}.

Resposta

\int_{0}^{1}\bigl(t e^{t}\,\vec{i}+\ln t\,\vec{j}+\sqrt{t}\,\vec{k}\bigr)\,dt = \vec{i} - \vec{j} + \tfrac{2}{3}\,\vec{k}.

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