Ao lado de cada conjunto, escreva
(\mathbf{A}) se este for aberto, \mathbf{B} se for fechado e \mathbf{N} se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x\right.\ e y são irracionais }(\quad)
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\text{ e }y\text{ são irracionais}\}.
O conteúdo aqui é topologia em \mathbb{R}^2. Precisamos decidir se esse conjunto é aberto, fechado ou nenhum dos dois, examinando seu interior e sua aderência.
Passo 2
Denotando \mathbb{I} o conjunto dos números irracionais em \mathbb{R}, podemos reescrever o conjunto dado como
\mathbb{I}\times\mathbb{I}.
Ou seja, todos os pares cujas duas coordenadas são irracionais.
Passo 3
Para testar se \mathbb{I}\times\mathbb{I} é aberto, tome um ponto arbitrário (x_0,y_0)\in\mathbb{I}\times\mathbb{I}. Seja \varepsilon>0. A bola aberta de raio \varepsilon em torno de (x_0,y_0) contém pontos cujas coordenadas são racionais (pois os racionais são densos em \mathbb{R}). Logo, nenhuma bola centrada em (x_0,y_0) fica inteiramente dentro de \mathbb{I}\times\mathbb{I}, o que mostra que o interior é vazio. Portanto, o conjunto não é aberto.
Passo 4
Para testar se \mathbb{I}\times\mathbb{I} é fechado, avaliamos sua aderência. Em \mathbb{R}, temos \overline{\mathbb{I}}=\mathbb{R} porque os irracionais são densos. Logo
Isso significa que há pontos-limiar (por exemplo, pontos com alguma coordenada racional) que não pertencem a \mathbb{I}\times\mathbb{I}. Assim, o conjunto não contém todos os seus pontos de aderência e não é fechado.