( \mathbf{2 0} pontos)
Considere a e.d.o. y^{\prime}(x)=\frac{y}{x}-e^{y / x}, x>0, utilize a substituição v=\frac{y}{x} para encontrar a solução geral da equação.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y'(x)=\frac{y}{x}-e^{y/x},\quad x>0
e pede a solução geral usando a substituição
v=\frac{y}{x}.
Como o lado direito depende apenas de y/x, reconhecemos uma ODE do tipo
y'=F\bigl(y/x\bigr),
que se resolve transformando-a em uma equação separável.

Passo 2

Introduzindo y=v\,x, temos
y' = \frac{d}{dx}(v\,x) = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = v - e^{v}.
Cancelando v em ambos os lados, fica
x\frac{dv}{dx} = -\,e^{v}.

Passo 3

Reescrevemos a equação para separar as variáveis v e x:
\frac{dv}{e^{v}} = -\,\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int e^{-v}\,dv = -\int \frac{dx}{x}.
O lado esquerdo é -e^{-v} e o direito é -\ln x, logo
-\,e^{-v} = -\,\ln x + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por -1 e renomeando a constante, obtemos
e^{-v} = \ln x + C_{1}.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando que v=y/x, temos
e^{-\,y/x} = \ln x + C_{1}.
Podemos deixar a solução de forma implícita ou explicitar y. Assim, a forma explícita é
-\,\frac{y}{x} = \ln\bigl(\ln x + C_{1}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y(x) = -\,x\,\ln\bigl(\ln x + C_{1}\bigr),
com C_{1} constante arbitrária e domínio onde \ln x + C_{1}>0.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
e^{-\,y/x} = \ln x + C_{1},
ou explicitamente por
y(x) = -\,x\,\ln\bigl(\ln x + C_{1}\bigr),
com C_{1} constante de integração.

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