(
pontos)
Considere a e.d.o.
, utilize a substituição
para encontrar a solução geral da equação.
Considere a e.d.o.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede a solução geral usando a substituição
Como o lado direito depende apenas de
, reconhecemos uma ODE do tipo
que se resolve transformando-a em uma equação separável.
Passo 2
Introduzindo
, temos
Substituindo na equação original:
Cancelando
em ambos os lados, fica
Passo 3
Reescrevemos a equação para separar as variáveis
e
:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
O lado esquerdo é
e o direito é
, logo
onde
é constante de integração. Multiplicando por
e renomeando a constante, obtemos
Passo 5
Voltando à variável original
, lembrando que
, temos
Podemos deixar a solução de forma implícita ou explicitar
. Assim, a forma explícita é
com
constante arbitrária e domínio onde
.
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
ou explicitamente por
com
constante de integração.