(20 pontos) Uma mola com uma massa de 2 kg presa a ela tem uma constante de amortecimento 16 e uma força de 12,8 N mantém a mola esticada
além de seu comprimento original. Determine a posição da massa no instante
se ela iniciar na posição de equilíbrio com velocidade de
.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor em que a massa é
kg, a constante de amortecimento é
e uma força constante de
N mantém a mola esticada
m em regime estático. Precisamos escrever a equação diferencial do movimento, achar a constante elástica
pela condição estática, deslocar para a posição de equilíbrio e resolver a equação homogênea de segunda ordem com as condições iniciais
e
m/s.
Passo 2
Pela estática da mola vale
com
. Logo
Passo 3
A equação de Newton para a posição
medida a partir do comprimento natural é
Passo 4
Define
. Como
, na variável
a parte forçante some e sobra a homogênea
Passo 5
A equação característica é
com raízes
Logo
Passo 6
As condições iniciais em
são
, logo
,
e
e
em
dá
, logo
.
Passo 7
Portanto
e voltando a
resulta