(20 pontos) Uma mola com uma massa de 2 kg presa a ela tem uma constante de amortecimento 16 e uma força de 12,8 N mantém a mola esticada 0,2 m além de seu comprimento original. Determine a posição da massa no instante t se ela iniciar na posição de equilíbrio com velocidade de 2,4 m / s.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor em que a massa é m=2 kg, a constante de amortecimento é c=16 e uma força constante de 12,8 N mantém a mola esticada 0,2 m em regime estático. Precisamos escrever a equação diferencial do movimento, achar a constante elástica k pela condição estática, deslocar para a posição de equilíbrio e resolver a equação homogênea de segunda ordem com as condições iniciais x(0)=xeq e x'(0)=2,4 m/s.

Passo 2

Pela estática da mola vale
k,xeq=12,8
com xeq=0,2. Logo
k=12,80,2=64(N/m)

Passo 3

A equação de Newton para a posição x(t) medida a partir do comprimento natural é
2,x''+16,x'+64,x=12,8

Passo 4

Define y(t)=x(t)-xeq. Como 64,xeq=12,8, na variável y a parte forçante some e sobra a homogênea
2,y''+16,y'+64,y=0

Passo 5

A equação característica é
2r^2+16r+64=0Longrightarrow r^2+8r+32=0
com raízes
r=-4pm4,i
Logo
y(t)=e^-4tl(Acos(4t)+Bsin(4t)r)

Passo 6

As condições iniciais em y são
,y(0)=x(0)-xeq=0, logo A=0,
e
y'(t)=e^-4tl(-4Acos4t-4Bsin4tr) +e^-4tl(-4Asin4t+4Bcos4tr),
em t=0 y'(0)=4B=2,4, logo B=0,6.

Passo 7

Portanto
y(t)=0,6,e^-4tsin(4t)
e voltando a x(t)=y(t)+xeq resulta
x(t)=0,2+0,6,e^-4tsin(4t)

Resposta

x(t)=0,2+0,6,e^-4tsin(4t)(m)

Exercícios relacionados