Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
definido em
. Queremos verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial
tal que
. Lembrando que, num domínio simplesmente conexo, basta mostrar que
.
Passo 2
Calcular o rotacional
Como
,
,
e
, cada derivada mista gera termos iguais em módulo e de sinais opostos, logo
Passo 3
O domínio
é simplesmente conexo e
nele. Portanto,
é conservativo nesse domínio.
Passo 4
Para achar o potencial
, integramos a componente
em relação a
:
Passo 5
Derivando esse
em relação a
e fazendo igual a
obtemos
Analogamente vem
. Assim,
é constante.