Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=x(x^2+y^2+z^2)^2 i+y(x^2+y^2+z^2)^2 j+z(x^2+y^2+z^2)^2 k

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
F(x,y,z) =x(x^2+y^2+z^2)^2,i +y(x^2+y^2+z^2)^2,j +z(x^2+y^2+z^2)^2,k,
definido em R^3setminus0. Queremos verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial f tal que nabla f=F. Lembrando que, num domínio simplesmente conexo, basta mostrar que nablatimesF=0.

Passo 2

Calcular o rotacional
nablatimesF =l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,; partial Fxpartial z-partial Fzpartial x,; partial Fypartial x-partial Fxpartial yr)
Como Fx=xr^4, Fy=yr^4, Fz=zr^4 e r^2=x^2+y^2+z^2, cada derivada mista gera termos iguais em módulo e de sinais opostos, logo
nablatimesF=0 em;R^3setminus0

Passo 3

O domínio R^3setminus0 é simplesmente conexo e nablatimesF=0 nele. Portanto, F é conservativo nesse domínio.

Passo 4

Para achar o potencial f, integramos a componente Fx em relação a x:
f(x,y,z) =integral x(x^2+y^2+z^2)^2,dx =-12(x^2+y^2+z^2) + g(y,z)

Passo 5

Derivando esse f em relação a y e fazendo igual a Fy obtemos
partial fpartial y =y(x^2+y^2+z^2)^2 + partial gpartial y stackrel!=y(x^2+y^2+z^2)^2 Longrightarrow partial gpartial y=0
Analogamente vem partial g/partial z=0. Assim, g é constante.

Resposta

F é conservativo em R^3setminus0 e um potencial é
f(x,y,z)=-12,(x^2+y^2+z^2)+C

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