A partir do PVI abaixo, responda os itens a seguir.
y^prime prime+4 y=16 cos 2 x, y(0)=0, y^prime(0)=0
(a) (10 pontos) Resolva a equação homogênea associada;
(b) (10 pontos) Determine uma solução particular associada a parte não-homogênea;
(c) (10 pontos) Escreva a solução geral da EDO não homogênea e determine a solução do PVI (note que as soluções obtidas podem ser linearmente dependentes, necessitando multiplicar por um fator x )

Passo 1

O problema é um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes:
y''+4y=16cos(2x), y(0)=0,;y'(0)=0
O método vai ser: (i) achar a solução geral da equação homogênea, (ii) buscar uma solução particular por coeficientes a determinar (cuidando do caso de ressonância) e (iii) aplicar as condições iniciais para fixar as constantes.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y''+4y=0,
montamos a equação característica
r^2+4=0Longrightarrow r=pm2,i
Logo a solução geral homogênea é
yh(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)

Passo 3

Como o termo forçante 16cos(2x) coincide com a forma de yh, temos ressonância. Então tentamos
yp(x)=xl(Acos(2x)+Bsin(2x)r)
Calculando yp''+4yp (após derivar duas vezes) chega-se a
yp''+4yp=4Bcos(2x)-4Asin(2x),
que deve ser igual a 16cos(2x). Portanto
4B=16 Rightarrow B=4, -4A=0 Rightarrow A=0
Assim
yp(x)=4,xsin(2x)

Passo 4

A solução geral da EDO não homogênea é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1cos(2x)+C2sin(2x)+4xsin(2x)
Aplicando y(0)=0
y(0)=C1=0
Para y'(x), derivamos:
y'(x)=-2C1sin(2x)+2C2cos(2x)+4sin(2x)+8xcos(2x)
Em x=0 isso vira y'(0)=2C2=0, logo C2=0.

Resposta

boxedy(x)=4,xsin(2x)

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