A partir do PVI abaixo, responda os itens a seguir.
(a) (10 pontos) Resolva a equação homogênea associada;
(b) (10 pontos) Determine uma solução particular associada a parte não-homogênea;
(c) (10 pontos) Escreva a solução geral da EDO não homogênea e determine a solução do PVI (note que as soluções obtidas podem ser linearmente dependentes, necessitando multiplicar por um fator
)
(b) (10 pontos) Determine uma solução particular associada a parte não-homogênea;
(c) (10 pontos) Escreva a solução geral da EDO não homogênea e determine a solução do PVI (note que as soluções obtidas podem ser linearmente dependentes, necessitando multiplicar por um fator
Passo 1
O problema é um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes:
O método vai ser: (i) achar a solução geral da equação homogênea, (ii) buscar uma solução particular por coeficientes a determinar (cuidando do caso de ressonância) e (iii) aplicar as condições iniciais para fixar as constantes.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea
montamos a equação característica
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Como o termo forçante
coincide com a forma de
, temos ressonância. Então tentamos
Calculando
(após derivar duas vezes) chega-se a
que deve ser igual a
. Portanto
Assim
Passo 4
A solução geral da EDO não homogênea é
Aplicando
dá
Para
, derivamos:
Em
isso vira
, logo
.