(20 pontos) Resolva o seguinte problema de contorno
y^prime prime+4 y^prime+4 y=0, y(0)=2, y(1)=4 e^-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
y'' + 4y' + 4y = 0, y(0)=2, y(1)=4e^-2
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos achar a equação característica e usar as condições de contorno para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 4r + 4 = 0
Resolvendo essa equação, notamos que ela é um quadrado perfeito.

Passo 3

Calculando as raízes:
r^2 + 4r + 4 = (r+2)^2 = 0 Longrightarrow r = -2
com multiplicidade 2.

Passo 4

Para uma raiz dupla r=-2, a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-2x
Agora aplicamos a condição y(0)=2:
y(0) = (C1 + C2cdot 0)e^0 = C1 = 2

Passo 5

Em seguida aplicamos y(1)=4e^-2:
y(1) = l(2 + C2cdot 1r)e^-2 = (2 + C2)e^-2 stackrel!=4e^-2 Longrightarrow 2 + C2 = 4 Longrightarrow C2 = 2

Resposta

A solução do problema de contorno é
y(x) = l(2 + 2xr)e^-2x

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