Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=(e^x cos y) i-(e^x sen y) j+z k

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=l(e^xcos y,,-e^xsin y,,zr)
e pede para determinar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=F. O conteúdo aqui é teste de conservatividade via rotor ( nablatimesF) num domínio simplesmente conexo ( R^3) e, se der zero, construir f integrando componentes parciais.

Passo 2

Calculamos o rotor
nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz e^xcos y&-e^xsin y&z
As componentes são
(nablatimesF)x =partialpartial y(z)-partialpartial z(-e^xsin y)=0-0=0,
(nablatimesF)y =partialpartial z(e^xcos y)-partialpartial x(z)=0-0=0,
(nablatimesF)z =partialpartial x(-e^xsin y)-partialpartial y(e^xcos y) =-e^xsin y-(-e^xsin y)=0
Como o rotor é zero em todo R^3 (que é simplesmente conexo), F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial f(x,y,z), integramos a primeira componente:
partial fpartial x=e^xcos y ;Longrightarrow; f(x,y,z)=integral e^xcos y,dx =e^xcos y+h(y,z),
onde h é uma função a determinar que depende só de y,z.

Passo 4

Agora usamos a segunda e a terceira componentes de nabla f.
Da segunda componente,
partial fpartial y =-e^xsin y +partial hpartial y
deve igualar -e^xsin y. Logo partial h/partial y=0, ou seja, h=h(z).
Da terceira componente,
partial fpartial z =h'(z)
deve igualar z. Portanto h'(z)=z e
h(z)=z^22+C
Em resumo,
f(x,y,z)=e^xcos y+z^22+C

Resposta

Uma função potencial é
boxedf(x,y,z)=e^xcos y+z^22+C,
logo F é conservativo e nabla f=F.

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