Questão 1. Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{5}}{x-4}=

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{5}}{x-4}.
Este é um limite que apresenta a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então vamos usar a técnica de racionalização do numerador para resolvê-lo.

Passo 2

Ao substituir x=4 vemos que o numerador vira \sqrt{5}-\sqrt{5}=0 e o denominador 4-4=0, confirmando a indeterminação. Para eliminá-la, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é \sqrt{x+1}+\sqrt{5}.

Passo 3

Multiplicando pelo conjugado obtemos
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{5}}{x-4}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{5}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{5}} =\frac{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{5})^2}{(x-4)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{5}\bigr)} =\frac{x+1-5}{(x-4)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{5}\bigr)} =\frac{x-4}{(x-4)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{5}\bigr)}.

Passo 4

Como x\neq4 na forma simplificada, cancelamos x-4 e ficamos com
\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{5}}.
Agora basta calcular o limite quando x\to4:
\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{5}} =\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} =\frac{1}{2\sqrt{5}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{5}}

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