(\mathbf{2 0}) pontos) Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
H(s)=\frac{3 e^{-2 s}}{(s-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a antitransformada de Laplace da função
H(s)=\frac{3\,e^{-2s}}{(s-1)^{2}}.
O conteúdo envolvido é o teorema de deslocamento no tempo (fator e^{-as}) e a antitransformada básica de \frac{1}{(s-a)^{2}}.

Passo 2

Separemos H(s) como
H(s)=e^{-2s}\;\frac{3}{(s-1)^{2}}.
Pelo teorema de deslocamento, se F(s)=\frac{3}{(s-1)^{2}} tem antitransformada f(t), então
e^{-2s}F(s)\quad\longleftrightarrow\quad u(t-2)\,f(t-2).

Passo 3

Calculemos f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{3}{(s-1)^{2}}\Bigr]. Sabemos que
\mathcal{L}[\,t\,e^{at}\,]=\frac{1}{(s-a)^{2}}.
Aqui a=1, então
\mathcal{L}[\,t\,e^{t}\,]=\frac{1}{(s-1)^{2}}
e multiplicando por 3
f(t)=3\,t\,e^{t}.

Passo 4

Aplicando o deslocamento em t=2, obtemos
h(t)=u(t-2)\;f(t-2) =u(t-2)\;3\,(t-2)\,e^{\,t-2}.

Resposta

h(t)=3\,(t-2)\,e^{\,t-2}\;u(t-2).

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