( 20 pontos)
Prove que se
é matriz diagonalizável, então o posto de
é a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores não nulos de
.
Prove que se
Passo 1
O enunciado afirma que
é diagonalizável e nos pede para mostrar que
onde
é a multiplicidade algébrica do autovalor
.
Para isso vamos usar que, sendo diagonalizável, existe uma base de auto-vetores e, portanto, uma matriz invertível
tal que
Para isso vamos usar que, sendo
em que
é diagonal com as entradas
repetidas segundo suas multiplicidades algébricas.
Passo 2
Como
é invertível, multiplicar por
ou
não altera o posto. Logo
Isto reduz o problema a calcular o posto de uma matriz diagonal.
Passo 3
Seja
. Para resolver
basta notar que cada equação
força
sempre que
, e deixa
livre quando
. Portanto
isto é, a multiplicidade algébrica de
, que chamamos
. Como em
(ou
) vale a dimensão–posto,
Passo 4
Sabemos ainda que a soma das multiplicidades algébricas de todos os autovalores é
:
Dessa soma extraímos o termo de
, obtendo
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