( 20 pontos)
Prove que se A é matriz diagonalizável, então o posto de A é a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores não nulos de A.

Passo 1

O enunciado afirma que A é diagonalizável e nos pede para mostrar que
\mathop{\mathrm{rank}}(A) \;=\; \sum_{\lambda\neq0} m_a(\lambda),
onde m_a(\lambda) é a multiplicidade algébrica do autovalor \lambda.
Para isso vamos usar que, sendo A diagonalizável, existe uma base de auto-vetores e, portanto, uma matriz invertível P tal que
A = P\,D\,P^{-1},
em que D é diagonal com as entradas \lambda_1,\dots,\lambda_n repetidas segundo suas multiplicidades algébricas.

Passo 2

Como P é invertível, multiplicar por P ou P^{-1} não altera o posto. Logo
\mathop{\mathrm{rank}}(A) =\mathop{\mathrm{rank}}(P\,D\,P^{-1}) =\mathop{\mathrm{rank}}(D).
Isto reduz o problema a calcular o posto de uma matriz diagonal.

Passo 3

Seja D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n). Para resolver \,D x=0 basta notar que cada equação d_i x_i=0 força x_i=0 sempre que d_i\neq0, e deixa x_i livre quando d_i=0. Portanto
\dim\ker(D) =\#\{\,i\mid d_i=0\},
isto é, a multiplicidade algébrica de 0, que chamamos m_a(0). Como em \Bbb R^n (ou \Bbb C^n) vale a dimensão–posto,
\mathop{\mathrm{rank}}(D) =n-\dim\ker(D) =n - m_a(0).

Passo 4

Sabemos ainda que a soma das multiplicidades algébricas de todos os autovalores é n:
\sum_{\lambda} m_a(\lambda)=n.
Dessa soma extraímos o termo de \lambda=0, obtendo
n - m_a(0) =\sum_{\lambda\neq0} m_a(\lambda).
Logo
\mathop{\mathrm{rank}}(A) =\mathop{\mathrm{rank}}(D) =n - m_a(0) =\sum_{\lambda\neq0} m_a(\lambda).

Resposta

\mathop{\mathrm{rank}}(A) =\sum_{\lambda\neq0} m_a(\lambda).

Exercícios relacionados