Exercício 4.10.2 Calcule o valor das as integrais a seguir.
\int \frac{e^{3 x}}{\left(1-2 e^{3 x}\right)^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{3x}}{\bigl(1 - 2e^{3x}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, usando a regra
\int f'(x)\,g\bigl(f(x)\bigr)\,dx = \int g(u)\,du.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 - 2\,e^{3x},
de modo que ao derivar em relação a x obtemos
du = -6\,e^{3x}\,dx.

Passo 3

Isolando e^{3x}\,dx em du = -6\,e^{3x}\,dx, vem
e^{3x}\,dx = -\frac{1}{6}\,du.
Portanto a integral original se transforma em
\int \frac{e^{3x}}{\bigl(1 - 2e^{3x}\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{6}\,du}{u^{2}} = -\frac{1}{6} \int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Logo
-\frac{1}{6} \int u^{-2}\,du = -\frac{1}{6}\bigl(-u^{-1}\bigr) = \frac{1}{6u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, com u = 1 - 2e^{3x}, obtemos
\frac{1}{6u} + C = \frac{1}{6\bigl(1 - 2e^{3x}\bigr)} + C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{6\bigl(1 - 2e^{3x}\bigr)} + C}.

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