Encontre F(s) ou f(t), como indicado.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\} \quad

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{s}{(s+1)^{2}},
ou seja, encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{s}{(s+1)^{2}}.
Vamos usar propriedades de decomposição de frações parciais e tabelas de transformadas conhecidas.

Passo 2

Observamos que podemos reescrever o numerador s como
s = (s+1) - 1.
Logo,
\frac{s}{(s+1)^{2}} = \frac{(s+1)-1}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Separando a fração em dois termos, temos
\frac{s}{(s+1)^{2}} = \frac{s+1}{(s+1)^{2}} \;-\;\frac{1}{(s+1)^{2}} = \frac{1}{s+1} \;-\;\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 4

Recorremos à tabela básica de transformadas:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s+1}\Bigr\}=e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr\}=t\,e^{-t}.
Aplicando linearidade,
f(t) = e^{-t} \;-\; t\,e^{-t} = e^{-t}\,(1 - t).

Resposta

f(t) = e^{-t}\,(1 - t).

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