( 20 pontos) Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 . Considere a transformação
que associa a cada polinômio
o vetor
.
(a) Mostre que
é uma transformação linear.
(b) Encontre bases para a imagem e o núcleo de
.
(c) Diga se
é injetora ou sobrejetora.
(a) Mostre que
(b) Encontre bases para a imagem e o núcleo de
(c) Diga se
Passo 1
O enunciado define
como o espaço de todos os polinômios de grau
e a transformação
O que vamos usar: definição de transformação linear, núcleo, imagem, e os teoremas de dimensões para decidir injeção e sobrejeção.
Passo 2
Para mostrar que
é linear, tomamos
e
e verificamos
Logo,
satisfaz aditividade e homogeneidade, isto é, é linear.
Passo 3
Para achar
, escrevemos um polinômio genérico
A condição
é
e
. Isso dá
Logo
com
. Portanto
e uma base de
é
Passo 4
Para a imagem, vemos que um polinômio
gera
Como
são livres, todo par
se obtém escolhendo
e
. Logo
. Alternativamente, notamos
e
é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera
. Assim uma base de
é
Passo 5
Pela dimensão do núcleo temos
, logo
não é injetora. Como
(o contradomínio),
é sobrejetora.
Resposta
(a)
é linear.
(b) Base do núcleo: . Base da imagem:
.
(c) não é injetora e é sobrejetora.
(b) Base do núcleo:
(c)