( 20 pontos) Seja P_{2} o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 . Considere a transformação T: P_{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} que associa a cada polinômio p \in P_{2} o vetor (p(0), p(1)).
(a) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) Encontre bases para a imagem e o núcleo de T.
(c) Diga se T é injetora ou sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define P_{2} como o espaço de todos os polinômios de grau \le2 e a transformação
T\colon P_{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2},\qquad T\bigl(p(x)\bigr)=\bigl(p(0),\,p(1)\bigr).
O que vamos usar: definição de transformação linear, núcleo, imagem, e os teoremas de dimensões para decidir injeção e sobrejeção.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, tomamos p,q\in P_{2} e \alpha\in\mathbb{R} e verificamos
T(p+q)=\bigl((p+q)(0),\,(p+q)(1)\bigr) =\bigl(p(0)+q(0),\,p(1)+q(1)\bigr) =T(p)+T(q),
T(\alpha p)=\bigl((\alpha p)(0),\,(\alpha p)(1)\bigr) =\bigl(\alpha\,p(0),\,\alpha\,p(1)\bigr) =\alpha\,T(p).
Logo, T satisfaz aditividade e homogeneidade, isto é, é linear.

Passo 3

Para achar \ker(T), escrevemos um polinômio genérico
p(x)=a\,x^{2}+b\,x+c.
A condição p\in\ker(T) é p(0)=0 e p(1)=0. Isso dá
p(0)=c=0,\quad p(1)=a+b+c=0\;\Longrightarrow\;a+b=0\;\Longrightarrow\;b=-a.
Logo
p(x)=a\bigl(x^{2}-x\bigr),
com a\in\mathbb{R}. Portanto
\ker(T)=\bigl\{a\,(x^{2}-x)\mid a\in\mathbb{R}\bigr\}
e uma base de \ker(T) é
\{\,x^{2}-x\}.

Passo 4

Para a imagem, vemos que um polinômio p(x)=a\,x^{2}+b\,x+c gera
T(p)=(p(0),p(1))=(c,\;a+b+c).
Como a,b,c são livres, todo par (u,v)\in\mathbb{R}^{2} se obtém escolhendo c=u e a+b=v-u. Logo \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}. Alternativamente, notamos
T(1)=(1,1),\quad T(x)=(0,1),
e \{(1,1),\,(0,1)\} é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera \mathbb{R}^{2}. Assim uma base de \operatorname{Im}(T) é
\{(1,1),\,(0,1)\}.

Passo 5

Pela dimensão do núcleo temos \dim\ker(T)=1>0, logo T não é injetora. Como \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2} (o contradomínio), T é sobrejetora.

Resposta

(a) T é linear.
(b) Base do núcleo: \{\,x^{2}-x\}. Base da imagem: \{(1,1),\,(0,1)\}.
(c) T não é injetora e é sobrejetora.

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