Encontre F(s) ou f(t), como indicado.
\mathcal{L}\left\{t^{3} e^{-2 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar
\displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{\,t^3e^{-2t}\}.
O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a definição da transformada e a propriedade de deslocamento no domínio da frequência.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Aqui f(t)=t^3e^{-2t}, então
F(s)=\int_{0}^{\infty}t^3e^{-2t}\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}t^3e^{-(s+2)t}\,dt.

Passo 4

Usamos a fórmula geral
\int_{0}^{\infty}t^n e^{-a t}\,dt=\frac{n!}{a^{\,n+1}},
válida para \Re(a)>0. Aqui n=3 e a=s+2, logo
F(s)=\frac{3!}{(s+2)^{4}}=\frac{6}{(s+2)^{4}},
com \Re(s+2)>0, isto é, \Re(s)>-2.

Resposta

F(s)=\frac{6}{(s+2)^{4}}

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