Calcule y^{\prime}.
y=(x+1) \cos (4 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=(x+1)\cos(4x).
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e, na derivada de \cos(4x), a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u = x+1
e
v = \cos(4x).
Pela regra do produto, temos
y' = u'\,v + u\,v'.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u' = \frac{d}{dx}(x+1) = 1, \quad v' = \frac{d}{dx}\cos(4x) = -\sin(4x)\,\frac{d}{dx}(4x) = -4\,\sin(4x).

Passo 4

Substituindo em
\displaystyle y' = u'\,v + u\,v',
obtém-se
y' = 1\cdot\cos(4x) + (x+1)\cdot(-4\sin(4x)) = \cos(4x) - 4(x+1)\sin(4x).

Resposta

y' = \cos(4x) - 4(x+1)\sin(4x).

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