Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos exercícios 1-20.
f(x, y)=2 x y-5 x^{2}-2 y^{2}+4 x+4 y-4

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y)=2\,x\,y-5\,x^{2}-2\,y^{2}+4\,x+4\,y-4.
Este é um caso clássico de otimização em duas variáveis, que vamos resolver com derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana (segundo derivadas).

Passo 2

Calcule as derivadas parciais e monte o sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=2\,y -10\,x +4=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2\,x -4\,y+4=0.

Passo 3

Resolva o sistema: da primeira equação
2\,y=10\,x-4 \;\Longrightarrow\; y=5\,x-2,
e da segunda
2\,x+4=4\,y \;\Longrightarrow\; y=\frac{x}{2}+1.
Igualando 5x-2 a \tfrac{x}{2}+1 vem
5\,x -2 = \frac{x}{2}+1 \;\Longrightarrow\; \frac{9\,x}{2}=3 \;\Longrightarrow\; x=\frac{2}{3},
e então
y=5\cdot\frac{2}{3}-2=\frac{10}{3}-2=\frac{4}{3}.

Passo 4

Forme a matriz Hessiana constante
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 2 \\\\ 2 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcule o determinante de H e verifique f_{xx}:
D = \det(H)=(-10)(-4)-2\cdot2=40-4=36>0,
e f_{xx}=-10<0. Como D>0 e f_{xx}<0, o ponto crítico é um máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\bigr), que é um máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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