Obtenha uma solução geral para as seguintes EDOs. Confirme sua resposta por substituição.
(10 pontos) y^prime prime-11 y^prime+18 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 11y' + 18y = 0
O conteúdo aqui é resolver o polinômio característico e, depois, confirmar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação por substituição.

Passo 2

Procuramos soluções da forma y=e^rx. Substituindo em y'' - 11y' + 18y=0, obtemos a equação característica
r^2 - 11r + 18 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 11r + 18 = 0,
o discriminante é
De<a = (-11)^2 - 4cdot1cdot18 = 121 - 72 = 49
Logo
r = 11 pm raiz492 = 11 pm 72,
o que dá as raízes
r1 = 9 e r2 = 2

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^9x + C2 e^2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Para confirmar, calculamos
y' = 9C1 e^9x + 2C2 e^2x, y'' = 81C1 e^9x + 4C2 e^2x
Substituindo em y'' - 11y' + 18y:
81C1 e^9x + 4C2 e^2x -11l(9C1 e^9x + 2C2 e^2xr) +18l(C1 e^9x + C2 e^2xr)
= l(81 - 99 + 18r)C1 e^9x + l(4 - 22 + 18r)C2 e^2x = 0
Portanto, a solução satisfaz a EDO.

Resposta

y(x) = C1 e^9x + C2 e^2x

Exercícios relacionados