3^a Questão: (3 pontos) Utilize as coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido limitado pelas esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=9 e acima do cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer o volume do “anel esférico” que fica entre a esfera de raio 1 e a de raio 3, mas só a parte que está acima do cone
z = raizx^2 + y^2,
O conteúdo da matéria é coordenadas esféricas: a gente vai precisar da mudança
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi
e do elemento de volume
dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 2

Primeiro, reescreve cada superfície em esféricas:
  • A esfera x^2+y^2+z^2=1 vira rho=1.
  • A esfera x^2+y^2+z^2=9 vira rho=3.
  • O cone z=raizx^2+y^2 rhocosvarphi = rhosinvarphi, ou seja
tanvarphi=1Longrightarrow varphi=pi4
Como queremos “acima” do cone, varphi vai de 0 até pi/4. Já theta circula toda a volta, de 0 a 2pi.

Passo 3

Com isso, os limites ficam:
0 <= theta <= 2pi, 0 <= varphi <= pi4, 1 <= rho <= 3
A integral do volume é
V = integral0^2pi!!integral0^pi/4!!integral1^3 rho^2sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Integral em rho:
integral1^3rho^2,drho = [rho^33]1^3 = 27-13 = 263
  1. Integral em varphi:
integral0^pi/4sinvarphi,dvarphi = l[-cosvarphir]0^pi/4 = 1 - raiz22
  1. Integral em theta:
integral0^2pidtheta = 2pi

Passo 5

Agora é só multiplicar tudo:
V = 263,l(1 - tfracraiz22r),(2pi) = 52pi3,l(1 - tfracraiz22r) = 26pi3,(2 - raiz2)

Resposta

boxedV = 26pi3,l(2 - raiz2r)

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