Questão: (3 pontos) Utilize as coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido limitado pelas esferas
e
e acima do cone
.
Passo 1
Beleza, aqui a gente quer o volume do “anel esférico” que fica entre a esfera de raio 1 e a de raio 3, mas só a parte que está acima do cone
O conteúdo da matéria é coordenadas esféricas: a gente vai precisar da mudança
e do elemento de volume
Passo 2
Primeiro, reescreve cada superfície em esféricas:
- A esfera
vira . - A esfera
vira . - O cone
dá , ou seja
Como queremos “acima” do cone,
vai de
até
. Já
circula toda a volta, de
a
.
Passo 3
Com isso, os limites ficam:
A integral do volume é
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 5
Agora é só multiplicar tudo: