(20 pontos) - Responda sem justificar.
Sejam m_{1}=3, m_{2}=2, m_{3}=3 e m_{4}=-1, raízes de uma equação auxiliar de multiplicidade (número de vezes que a raiz se repete) dois, três, um, dois, nesta ordem. Escreva a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. y=c_{1} \cdot e^{3 x}+c_{2} x \cdot e^{3 x}+c_{3} e^{2 x}+c_{4} x e^{2 x}+c_{5} x^{2} e^{2 x}+c_{6} e^{3 x}+c_{7} e^{-1 x}+c_{8} x e^{-1 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes cujas raízes do polinômio característico são \,3 (multiplicidade total 3), \,2 (multiplicidade 3) e -1 (multiplicidade 2). Para cada raiz real r de multiplicidade m sabemos que aparecem os termos independentes
e^{r x},\; x e^{r x},\;\dots,\; x^{m-1}e^{r x}.

Passo 2

Aplicando essa regra a cada raiz, obtemos três termos para r=3, três termos para r=2 e dois termos para r=-1.

Resposta

y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}x\,e^{3x}+c_{3}x^{2}e^{3x} +c_{4}e^{2x}+c_{5}x\,e^{2x}+c_{6}x^{2}e^{2x} +c_{7}e^{-x}+c_{8}x\,e^{-x}.

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