Questão 4. Considere a função
. Faça o que se pede:
a) Determine o domínio.
b) Encontre as intersecções com os eixos
e
.
c) Determine as assíntotas horizontais e verticais (se existirem).
d) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximos e mínimos.
e) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f) Construa o gráfico de
com as informações dos itens anteriores.
a) Determine o domínio.
b) Encontre as intersecções com os eixos
c) Determine as assíntotas horizontais e verticais (se existirem).
d) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximos e mínimos.
e) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f) Construa o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
Isso envolve: domínio, interseções com os eixos, assíntotas, monotonicidade (crescimento/decrescimento), extremos, concavidade, pontos de inflexão e o esboço do gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas e análise de sinais.
Passo 2
Domínio: precisamos que o denominador não seja zero, isto é,
Logo,
Interseções com os eixos:
– Com o eixo : faça
, então
– Com o eixo
logo o ponto
.
– Com o eixo : resolva
, dá
. É o mesmo ponto
.
– Com o eixo
Passo 3
Assíntotas verticais: ocorrem onde o denominador anula, isto é,
e
.
Assíntota horizontal: conforme ,
Assíntota horizontal: conforme
Portanto
é assíntota horizontal.
Passo 4
Primeira derivada:
Como
sempre e
no domínio, temos
em todos os intervalos.
Isto significa que é estritamente decrescente em cada um de
,
e
. Não há máximos nem mínimos locais.
Isto significa que
Passo 5
Segunda derivada:
Analisando o sinal:
– Para :
,
,
(concavidade para baixo).
– Para :
,
(concavidade para cima).
– Para :
,
(concavidade para baixo).
– Para :
,
(concavidade para cima).
Ponto de inflexão ocorre onde e troca de sinal: em
. Note que
.
– Para
– Para
– Para
– Para
Ponto de inflexão ocorre onde
Passo 6
Esboço do gráfico com as informações:
– Domínio dividido em três ramos separados por assíntotas verticais e
.
– Decrescente em cada ramo.
– Concavidade em cada ramo como apurado:
– Domínio dividido em três ramos separados por assíntotas verticais
– Decrescente em cada ramo.
– Concavidade em cada ramo como apurado:
-
: decrescente, concavidade para baixo, aproximando-se de e divergindo para em . -
: decrescente, concavidade para cima, de em até passar por . -
: decrescente, concavidade para baixo, de em até em . -
: decrescente, concavidade para cima, de em aproximando-se de .
– Assíntotas horizontais e verticais desenhadas.
– Ponto de inflexão em.
Resposta
Domínio:
.
Interseções: único ponto .
Assíntotas verticais: ,
.
Assíntota horizontal: .
Monotonicidade: decrescente em todos os três intervalos do domínio; sem extremos.
Concavidade:
: para baixo;
: para cima;
: para baixo;
: para cima.
Ponto de inflexão: .
Gráfico conforme descrito no passo 6.
Interseções: único ponto
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Monotonicidade: decrescente em todos os três intervalos do domínio; sem extremos.
Concavidade:
Ponto de inflexão:
Gráfico conforme descrito no passo 6.