Questão 4. Considere a função f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}. Faça o que se pede:
a) Determine o domínio.
b) Encontre as intersecções com os eixos x e y.
c) Determine as assíntotas horizontais e verticais (se existirem).
d) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximos e mínimos.
e) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f) Construa o gráfico de f com as informações dos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}
Isso envolve: domínio, interseções com os eixos, assíntotas, monotonicidade (crescimento/decrescimento), extremos, concavidade, pontos de inflexão e o esboço do gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas e análise de sinais.

Passo 2

Domínio: precisamos que o denominador não seja zero, isto é,
x^{2}-1\neq0\;\Longrightarrow\;x\neq\pm1.
Logo,
\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
Interseções com os eixos:
– Com o eixo y: faça x=0, então
f(0)=\frac{0}{0^{2}-1}=0,
logo o ponto (0,0).
– Com o eixo x: resolva \tfrac{x}{x^{2}-1}=0, dá x=0. É o mesmo ponto (0,0).

Passo 3

Assíntotas verticais: ocorrem onde o denominador anula, isto é, x=1 e x=-1.
Assíntota horizontal: conforme x\to\pm\infty,
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}\sim\frac{x}{x^{2}}=\frac1{x}\to0.
Portanto y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Primeira derivada:
f'(x) =\frac{(x^{2}-1)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{-\bigl(x^{2}+1\bigr)}{(x^{2}-1)^{2}}.
Como x^{2}+1>0 sempre e (x^{2}-1)^{2}>0 no domínio, temos f'(x)<0 em todos os intervalos.
Isto significa que f é estritamente decrescente em cada um de (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty). Não há máximos nem mínimos locais.

Passo 5

Segunda derivada:
f''(x) =\frac{2x\,(x^{2}+3)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Analisando o sinal:
– Para x<-1: 2x<0, x^{2}+3>0, (x^{2}-1)^{3}>0 \;\Rightarrow\;f''(x)<0 (concavidade para baixo).
– Para -1<x<0: 2x<0, (x^{2}-1)^{3}<0 \;\Rightarrow\;f''(x)>0 (concavidade para cima).
– Para 0<x<1: 2x>0, (x^{2}-1)^{3}<0 \;\Rightarrow\;f''(x)<0 (concavidade para baixo).
– Para x>1: 2x>0, (x^{2}-1)^{3}>0 \;\Rightarrow\;f''(x)>0 (concavidade para cima).
Ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 e troca de sinal: em x=0. Note que f(0)=0.

Passo 6

Esboço do gráfico com as informações:
– Domínio dividido em três ramos separados por assíntotas verticais x=-1 e x=1.
– Decrescente em cada ramo.
– Concavidade em cada ramo como apurado:
  • (-\infty,-1): decrescente, concavidade para baixo, aproximando-se de y=0 e divergindo para -\infty em x\to-1^-.
  • (-1,0): decrescente, concavidade para cima, de +\infty em x\to-1^+ até passar por (0,0).
  • (0,1): decrescente, concavidade para baixo, de 0 em x=0 até -\infty em x\to1^-.
  • (1,\infty): decrescente, concavidade para cima, de +\infty em x\to1^+ aproximando-se de y=0.
    – Assíntotas horizontais e verticais desenhadas.
    – Ponto de inflexão em (0,0).

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
Interseções: único ponto (0,0).
Assíntotas verticais: x=-1, x=1.
Assíntota horizontal: y=0.
Monotonicidade: decrescente em todos os três intervalos do domínio; sem extremos.
Concavidade:
-\infty<x<-1: para baixo;
-1<x<0: para cima;
0<x<1: para baixo;
x>1: para cima.
Ponto de inflexão: (0,0).
Gráfico conforme descrito no passo 6.

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