Determine se o conjunto de funções é linearmente dependente ou linearmente independente:
f_{1}(x)=x^{2}, f_{2}(x)=1-x^{2}, f_{3}(x)=2+x^{2},(-\infty, \infty)

Passo 1

Temos as funções
f_{1}(x)=x^{2},\quad f_{2}(x)=1 - x^{2},\quad f_{3}(x)=2 + x^{2},
definidas em (-\infty,\infty). O objetivo é verificar se há constantes não todas nulas a,b,c tais que
a\,f_{1}(x) + b\,f_{2}(x) + c\,f_{3}(x) = 0
para todo x. Isso testa a dependência linear em espaço de funções.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear, obtemos
a\,x^{2} \;+\; b\,(1 - x^{2}) \;+\; c\,(2 + x^{2}) = (a - b + c)\,x^{2} \;+\; (b + 2c).

Passo 3

Para que essa expressão seja zero para todo x, o polinômio deve ser identicamente nulo, logo os coeficientes satisfazem o sistema
\begin{cases} a - b + c = 0,\\\ b + 2c = 0. \end{cases}

Passo 4

Esse sistema tem infinitas soluções não triviais. Por exemplo, escolhendo c=1 vem b=-2 e a=-3, obtendo
-3\,f_{1}(x) \;-\;2\,f_{2}(x) \;+\;1\,f_{3}(x) \;=\;0.
Como existe combinação não trivial que anula todas as funções, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto \{f_{1},f_{2},f_{3}\} é linearmente dependente.

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