Certa pessoa deseja comprar um carro por R \ 25.000,00 à vista, daqui a 18 meses. Admitindo-se que ela vá poupar certa quantia mensal que será aplicada em título de renda fixa rendendoàááí2,3 %$ am de juros compostos, determinar quanto deve ser poupado mensalmente.

Passo 1

O enunciado diz que a pessoa quer ter ao final de 18 meses um montante de \text{R\$ }25.000,00 guardado num título que rende 2{,}3\% ao mês, em regime de juros compostos. Para isso ela vai fazer depósitos mensais iguais, no fim de cada mês. O conteúdo aqui é o cálculo de valor futuro de uma série de pagamentos periódicos (anuidade), e vamos precisar da fórmula do montante de uma série de depósitos regulares.

Passo 2

Seja R o valor depositado ao final de cada mês, i=0,023 a taxa mensal e n=18 o número de depósitos. O valor futuro S ao término de n períodos é dado por
S = R\;\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.

Passo 3

Queremos S = 25000. Isolando R, temos
R = S \;\frac{i}{(1+i)^{n}-1}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
(1+i)^{n} = (1{,}023)^{18} \approx 1{,}5058,
(1+i)^{n}-1 \approx 0{,}5058,
R = 25000\;\frac{0{,}023}{0{,}5058} \approx 1138{,}10.

Resposta

A pessoa deve poupar cerca de \text{R\$ }1.138{,}10 por mês.

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