A empresa Salutar, devedora de um título no valor de R \ 45.000,00 para 4 anos, deseja resgatar essa dívida em 3 pagamentos anuais iguais: o primeiro ao final de um ano, o segundo ao final de 3 anos e o último pagamento ao final de 4 anos. Se a taxa de juros da operação é deíúçãé36,5 %$ aa com capitalização trimestral, calcular o valor desses pagamentos.

Passo 1

O enunciado dá uma dívida de \text{R\$ }45\,000 com prazo de 4 anos, que será quitada em três pagamentos anuais iguais R, realizados ao final de 1 ano, de 3 anos e de 4 anos. A taxa nominal é de 36{,}5\% ao ano, capitalizada trimestralmente. Vamos usar equivalência de taxas e valor presente de pagamentos descontados.

Passo 2

Primeiro convertemos a taxa nominal trimestral em taxa efetiva anual. A taxa por trimestre é
j = \frac{0,365}{4} = 0,09125.
A taxa efetiva anual i é
i = (1 + j)^4 - 1 = (1{,}09125)^4 - 1 \approx 0,4181\quad\text{(41,81\%)}.

Passo 3

Definimos o fator de desconto anual
v = \frac{1}{1+i} \approx \frac{1}{1,4181} \approx 0,7055.
O valor presente dos três pagamentos é
PV = R\,v^1 + R\,v^3 + R\,v^4.
Esse PV deve igualar a dívida de \text{R\$ }45\,000.

Passo 4

Igualando ao valor da dívida e isolando R, temos
45\,000 = R\bigl(v + v^3 + v^4\bigr) \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{45\,000}{v + v^3 + v^4}.
Numericamente, com v\approx0,7055,
v^3\approx0,7055^3\approx0,3511, \quad v^4\approx0,2472,
v + v^3 + v^4 \approx 0,7055 + 0,3511 + 0,2472 = 1,3038,
R \approx \frac{45\,000}{1,3038} \approx 34\,530.

Resposta

O valor de cada pagamento anual é de aproximadamente R$ 34530,00.

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