Q1 (20 pontos). Seja R=[0,1] \times[0,3]. O valor da integral \iint_{R} x^{3} y^{4} d A é igual a:
(a) 1 / 5
(b) 1 / 4
(c) 81 / 20
(d) 1 / 20
(e) 243 / 20
(f) 81 / 5
(g) 81 / 4
(h) nenhuma das anteriores
\ell=[0,1] \cdot[0,3]
$\int R x^{3} y^{4} d A

Passo 1

O enunciado dá a região retangular R=[0,1]\times[0,3] e pede o valor da integral dupla
\iint_{R} x^{3}y^{4}\,dA.
Informações relevantes que temos:
  • A região é o retângulo com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 3.
  • A função a integrar é f(x,y)=x^{3}y^{4}.
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Fato importante (usado em provas): se R=[a,b]\times[c,d] e f é contínua em R, então pela aplicação de Fubini vale
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{a}^{b}\!\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\,dx=\int_{c}^{d}\!\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\,dy.
Aqui a=0, b=1, c=0, d=3. Esse é o teorema que permite transformar a integral dupla numa iterada.

Passo 3

Observação útil para simplificar contas na prova: se a função é produto de uma função só de x por uma só de y, isto é, f(x,y)=g(x)h(y), então a integral sobre o retângulo separa-se:
\iint_{R} g(x)h(y)\,dA=\left(\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right)\left(\int_{c}^{d} h(y)\,dy\right).
No nosso caso x^{3}y^{4} = g(x)h(y) com g(x)=x^{3} e h(y)=y^{4}. Portanto
\iint_{R} x^{3}y^{4}\,dA=\left(\int_{0}^{1} x^{3}\,dx\right)\!\left(\int_{0}^{3} y^{4}\,dy\right).

Passo 4

Agora calculamos a primeira integral \int_{0}^{1} x^{3}\,dx.
Regra básica (sempre útil na prova): para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=3 obtemos primitiva \dfrac{x^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx=\left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Agora a segunda integral \int_{0}^{3} y^{4}\,dy.
Usando a mesma fórmula com n=4, a primitiva é \dfrac{y^{5}}{5}. Avaliando de 0 a 3:
\int_{0}^{3} y^{4}\,dy=\left.\frac{y^{5}}{5}\right|_{0}^{3}=\frac{3^{5}}{5}-0=\frac{243}{5},
pois 3^{5}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=243.

Passo 6

Multiplicando os dois resultados, pela separabilidade do Passo 3:
\iint_{R} x^{3}y^{4}\,dA=\frac{1}{4}\cdot\frac{243}{5}=\frac{243}{20}.
Esse valor corresponde à alternativa (e) da lista dada.

Resposta

(e) \dfrac{243}{20}

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