(20 Pontos) Seja
, com
, uma família de subcorpos de um corpo
. Mostre que,
é subcorpo de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma família de subcampos
de um corpo
, com
. Precisamos mostrar que
é também um subcampo de
. O conteúdo aqui é a teoria de subcampos e a propriedade de que interseção de subcampos é subcampo.
Passo 2
Cada
é subcampo de
, logo contém o elemento neutro aditivo
e o neutro multiplicativo
. Portanto, para todo
vale
o que implica
Assim
não é vazio e já contém os neutros.
Passo 3
Fechamento sob adição. Se
então, por definição de interseção,
para todo
. Como cada
é subcampo,
para todo
. Logo
Passo 4
Fechamento sob inverso aditivo. Se
então
para todo
. Cada
sendo subcampo, contém
. Assim
Passo 5
Fechamento sob multiplicação. Se
então
para todo
. Em cada
vale
, portanto
Passo 6
Fechamento sob inverso multiplicativo. Se
e
então
para todo
, e como cada
é corpo,
. Logo