(20 Pontos) Seja \left\{K_{i}\right\}_{i \in I}, com I \neq \emptyset, uma família de subcorpos de um corpo K. Mostre que, B= \bigcap_{i \in I} K_{i} é subcorpo de K.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma família de subcampos \{K_i\}_{i\in I} de um corpo K, com I\neq\emptyset. Precisamos mostrar que
B = \bigcap_{i\in I} K_i
é também um subcampo de K. O conteúdo aqui é a teoria de subcampos e a propriedade de que interseção de subcampos é subcampo.

Passo 2

Cada K_i é subcampo de K, logo contém o elemento neutro aditivo 0 e o neutro multiplicativo 1. Portanto, para todo i\in I vale
0\in K_i \quad\text{e}\quad 1\in K_i,
o que implica
0\in B \quad\text{e}\quad 1\in B.
Assim B não é vazio e já contém os neutros.

Passo 3

Fechamento sob adição. Se x,y\in B então, por definição de interseção, x,y\in K_i para todo i. Como cada K_i é subcampo, x+y\in K_i para todo i. Logo
x+y\in B.

Passo 4

Fechamento sob inverso aditivo. Se x\in B então x\in K_i para todo i. Cada K_i sendo subcampo, contém -x. Assim
-x\in K_i\\ \forall i \quad\Longrightarrow\quad -x\in B.

Passo 5

Fechamento sob multiplicação. Se x,y\in B então x,y\in K_i para todo i. Em cada K_i vale xy\in K_i, portanto
xy\in B.

Passo 6

Fechamento sob inverso multiplicativo. Se x\in B e x\neq0 então x\in K_i para todo i, e como cada K_i é corpo, x^{-1}\in K_i. Logo
x^{-1}\in B.

Resposta

B satisfaz todos os axiomas de subcampo de K e, portanto, é um subcampo de K.

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