Nas perguntas abaixo, responda com verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro demonstre e caso contrário dê um contraexemplo:
(a) (10 Pontos) A interseção de ideais de um anel também é ideal?
(a) (10 Pontos) A interseção de ideais de um anel também é ideal?
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado um anel
e uma família de ideais
em
, a interseção
é também um ideal de
. O que precisamos usar é a definição de ideal: um subconjunto não vazio
que é subgrupo aditivo de
(fechado sob soma e inverso aditivo) e satisfaz a absorção
e
para todo
e
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Como cada
é ideal,
para todo
. Logo
então
não é vazio.
Passo 3
Agora verificamos que
é fechado sob adição e inverso aditivo. Se
, então
Como cada
é subgrupo aditivo, temos
e
para todo
. Logo
isto é,
e
.
Passo 4
Por fim, verificamos a absorção por elementos de
. Seja
e
. Então
para todo
. Como cada
é ideal,
Logo
isto é,
e
.
Resposta
Verdadeiro. A interseção de qualquer família de ideais de um anel é novamente um ideal.