Nas perguntas abaixo, responda com verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro demonstre e caso contrário dê um contraexemplo:
(a) (10 Pontos) A interseção de ideais de um anel também é ideal?

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um anel R e uma família de ideais \{I_j\}_{j\in J} em R, a interseção
I=\bigcap_{j\in J}I_j
é também um ideal de R. O que precisamos usar é a definição de ideal: um subconjunto não vazio I\subseteq R que é subgrupo aditivo de R (fechado sob soma e inverso aditivo) e satisfaz a absorção r\,a\in I e a\,r\in I para todo r\in R e a\in I.

Passo 2

Mostramos primeiro que I\neq\varnothing. Como cada I_j é ideal, 0\in I_j para todo j. Logo
0\in \bigcap_{j\in J}I_j = I,
então I não é vazio.

Passo 3

Agora verificamos que I é fechado sob adição e inverso aditivo. Se a,b\in I, então
a\in I_j\quad\text{e}\quad b\in I_j \quad\forall j\in J.
Como cada I_j é subgrupo aditivo, temos a+b\in I_j e -a\in I_j para todo j. Logo
a+b\in\bigcap_{j\in J}I_j \quad\text{e}\quad -a\in\bigcap_{j\in J}I_j,
isto é, a+b\in I e -a\in I.

Passo 4

Por fim, verificamos a absorção por elementos de R. Seja r\in R e a\in I. Então a\in I_j para todo j. Como cada I_j é ideal,
r\,a\in I_j \quad\text{e}\quad a\,r\in I_j \quad\forall j\in J.
Logo
r\,a\in\bigcap_{j\in J}I_j \quad\text{e}\quad a\,r\in\bigcap_{j\in J}I_j,
isto é, r\,a\in I e a\,r\in I.

Resposta

Verdadeiro. A interseção de qualquer família de ideais de um anel é novamente um ideal.

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