(20 Pontos) Seja
um número inteiro e seja
. Mostre que existe
de modo que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
e um elemento
com
, existe
tal que
se, e somente se,
.
O conteúdo usado será teoria de números: divisibilidade, máximo divisor comum e o lema de Bezout (identidade de Bezout).
O conteúdo usado será teoria de números: divisibilidade, máximo divisor comum e o lema de Bezout (identidade de Bezout).
Passo 2
Prova da direção “
”: suponha que
tenha inverso
. Então
Isso significa que existe inteiro
tal que
Mas qualquer divisor comum de
e
divide ambos
e
, logo divide o seu combinado
. Assim
divide
, o que implica
Passo 3
Prova da direção “
”: suponha
. Pelo lema de Bezout, existem inteiros
tais que
Reduzindo essa igualdade módulo
, o termo
some, ficando
Então
satisfaz
. Logo
é invertível em
, com inverso
.
Resposta
Mostramos que
tem inverso em
se, e somente se,
.