Nas perguntas abaixo, responda com verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro demonstre e caso contrário dê um contraexemplo:
(b) ( 10 Pontos) A união de ideais de um anel também é ideal?

Passo 1

O enunciado pergunta se a união de ideais de um anel é, ela própria, um ideal. O conteúdo aqui é teoria de ideais em álgebra abstrata. Para resolver, vamos lembrar a definição de ideal e depois buscar um contraexemplo caso a afirmação seja falsa.

Passo 2

Definição de ideal: seja R um anel comutativo. Um subconjunto I\subseteq R é ideal se, para todo x,y\in I, tem-se x+y\in I (fechamento sob adição) e para todo r\in R, r\,x\in I (fechamento por multiplicação externa).

Passo 3

Para ver que a união de ideais nem sempre é ideal, consideremos o anel dos inteiros \mathbb{Z} e os ideais
I = 2\mathbb{Z} \quad\text{e}\quad J = 3\mathbb{Z}.
Ambos são ideais em \mathbb{Z}, mas investigaremos I\cup J.

Passo 4

Tomemos 2\in I\subseteq I\cup J e 3\in J\subseteq I\cup J. Se I\cup J fosse ideal, deveria ser fechado sob soma, ou seja,
2 + 3 = 5
deveria pertencer a I\cup J. Mas 5\notin 2\mathbb{Z} e 5\notin 3\mathbb{Z}, logo 5\notin I\cup J. Isso mostra que I\cup J não é fechado sob adição.

Resposta

Falso. A união de ideais nem sempre é ideal, como mostra o contraexemplo em \mathbb{Z} com 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}.

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