Nas perguntas abaixo, responda com verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro demonstre e caso contrário dê um contraexemplo:
(b) ( 10 Pontos) A união de ideais de um anel também é ideal?
(b) ( 10 Pontos) A união de ideais de um anel também é ideal?
Passo 1
O enunciado pergunta se a união de ideais de um anel é, ela própria, um ideal. O conteúdo aqui é teoria de ideais em álgebra abstrata. Para resolver, vamos lembrar a definição de ideal e depois buscar um contraexemplo caso a afirmação seja falsa.
Passo 2
Definição de ideal: seja
um anel comutativo. Um subconjunto
é ideal se, para todo
, tem-se
(fechamento sob adição) e para todo
,
(fechamento por multiplicação externa).
Passo 3
Para ver que a união de ideais nem sempre é ideal, consideremos o anel dos inteiros
e os ideais
Ambos são ideais em
, mas investigaremos
.
Passo 4
Tomemos
e
. Se
fosse ideal, deveria ser fechado sob soma, ou seja,
deveria pertencer a
. Mas
e
, logo
. Isso mostra que
não é fechado sob adição.
Resposta
Falso. A união de ideais nem sempre é ideal, como mostra o contraexemplo em
com
.