Exercício 4.10.2 Calcule o valor das as integrais a seguir.
\int_{e}^{e^{2}} \frac{d x}{x} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x}.
O conteúdo envolve integração de funções do tipo 1/x e usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a antiderivada nos extremos de integração.

Passo 2

Para encontrar uma antiderivada de \tfrac{1}{x}, recordamos que
\int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert + C.
Como x>0 no intervalo [e,e^2], podemos usar \ln(x) sem o valor absoluto.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x} = \ln(x)\Big|_{e}^{e^2} = \ln\bigl(e^2\bigr) - \ln(e) = 2 - 1 = 1.

Resposta

1

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