(20 pontos) Seja
tal que
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício é da área de Álgebra, mais especificamente lidando com polinômios. O que precisamos fazer aqui é calcular os valores de
,
e
para o polinômio dado
, e depois somar esses resultados. Para isso, vamos substituir os valores de
na expressão do polinômio e simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa substituir
por 0 na expressão do polinômio:
Qualquer número elevado a uma potência é 0, então todos os termos que têm
vão dar 0, restando apenas o último termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituímos
por 1 na expressão do polinômio:
Como 1 elevado a qualquer potência continua sendo 1, todos os termos vão somar 1. O polinômio tem 21 termos no total (de
até o 1), então:
Passo 4
Por fim, vamos calcular
. Substituímos
por -1 na expressão do polinômio:
Agora, precisamos lembrar que:
Vamos contar quantos termos são de potências pares e quantos são de potências ímpares:
- Potências pares: de 0 a 20, são 11 termos (0, 2, 4, …, 20)
- Potências ímpares: de 1 a 19, são 10 termos (1, 3, 5, …, 19)
Então:
Resposta
Somando tudo: