(20 pontos) Seja p(x) in Z[x] tal que p(x)=x^20+x^19+x^18+cdots+x^2+x+1. Calcule p(0)+p(1)+p(-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício é da área de Álgebra, mais especificamente lidando com polinômios. O que precisamos fazer aqui é calcular os valores de p(0) , p(1) e p(-1) para o polinômio dado p(x) = x^20 + x^19 + cdots + x^2 + x + 1 , e depois somar esses resultados. Para isso, vamos substituir os valores de x na expressão do polinômio e simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular p(0) . Isso significa substituir x por 0 na expressão do polinômio:
p(0) = 0^20 + 0^19 + cdots + 0^2 + 0 + 1
Qualquer número elevado a uma potência é 0, então todos os termos que têm x vão dar 0, restando apenas o último termo:
p(0) = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular p(1) . Substituímos x por 1 na expressão do polinômio:
p(1) = 1^20 + 1^19 + cdots + 1^2 + 1 + 1
Como 1 elevado a qualquer potência continua sendo 1, todos os termos vão somar 1. O polinômio tem 21 termos no total (de x^20 até o 1), então:
p(1) = 21 times 1 = 21

Passo 4

Por fim, vamos calcular p(-1) . Substituímos x por -1 na expressão do polinômio:
p(-1) = (-1)^20 + (-1)^19 + cdots + (-1)^2 + (-1) + 1
Agora, precisamos lembrar que:
  • (-1)^par = 1
  • (-1)^ímpar = -1í
Vamos contar quantos termos são de potências pares e quantos são de potências ímpares:
  • Potências pares: de 0 a 20, são 11 termos (0, 2, 4, …, 20)
  • Potências ímpares: de 1 a 19, são 10 termos (1, 3, 5, …, 19)
Então:
p(-1) = 11 times 1 + 10 times (-1) = 11 - 10 = 1

Resposta

Somando tudo:
p(0) + p(1) + p(-1) = 1 + 21 + 1 = 23

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