Julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso, justifique sua resposta. (Respostas sem justificativa serão consideradas incorretas).
( ) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(2 x-y, x+2 y) é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para julgar se a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (2x - y,;x + 2y)
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de linearidade, que exige duas propriedades:
1. Aditividade: T(u+v) = T(u) + T(v).
2. Homogeneidade: T(lambda u) = lambda,T(u).

Passo 2

Podemos observar que
T(x,y) = 2 & -1 [6pt] 1 & 2 x[3pt]y
Qualquer aplicação dada por multiplicação de vetor por matriz é linear, pois a soma e a multiplicação por escalar distribuem-se das colunas da matriz. Explicitamente, para (x1,y1) e (x2,y2) e escalar lambda, temos
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(2(x1+x2)-(y1+y2),;(x1+x2)+2(y1+y2)r)
= (2x1-y1,;x1+2y1)+(2x2-y2,;x2+2y2) = T(x1,y1)+T(x2,y2),
e
Tl(lambda(x,y)r) = T(lambda x,lambda y) = (2lambda x - lambda y,;lambda x + 2lambda y) = lambda,(2x - y,;x + 2y) = lambda,T(x,y)
Logo, ambas as propriedades estão satisfeitas, confirmando que T é linear.]

Resposta

Verdadeiro.

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