(20 pontos) Qual a soma dos coeficientes do polinômio (8x^6-4x^4-4x-1)^28 in R[x]?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede a soma dos coeficientes do polinômio (8x^6 - 4x^4 - 4x - 1)^28. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios e como calcular a soma dos coeficientes de um polinômio elevado a uma potência.

Passo 2

Primeiro, você já ouviu falar que a soma dos coeficientes de um polinômio P(x) pode ser encontrada avaliando o polinômio em x = 1? Ou seja, P(1) nos dá a soma desejada. Isso acontece porque, ao substituir x por 1, todas as potências de x se tornam 1, deixando apenas a soma dos coeficientes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso polinômio. Precisamos calcular:
(8x^6 - 4x^4 - 4x - 1)^28 em x = 1
Substituindo x por 1, temos:
(8(1)^6 - 4(1)^4 - 4(1) - 1)^28

Passo 4

Simplificando os termos dentro dos parênteses:
8(1) - 4(1) - 4(1) - 1 = 8 - 4 - 4 - 1 = -1

Passo 5

Agora, elevamos -1 à 28ª potência:
(-1)^28 = 1

Resposta

A soma dos coeficientes do polinômio (8x^6 - 4x^4 - 4x - 1)^28 é 1.

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