(20 Pontos) Sejam \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) e \left(c_{n}\right) sequências de números reais. Suponha que a_{n} \rightarrow L, c_{n} \rightarrow L e existe n_{0} \in \mathbb{N} de modo que se n>n_{0}, a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}. Mostre que b_{n} \rightarrow L.

Passo 1

O enunciado dá três sequências reais \bigl(a_n\bigr), \bigl(b_n\bigr) e \bigl(c_n\bigr) tais que
  1. \displaystyle a_n \to L quando n\to\infty,
  2. \displaystyle c_n \to L quando n\to\infty,
  3. existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que, para todo n>n_{0},
a_n \,\le\, b_n \,\le\, c_n.
O conteúdo aqui é o Teorema do Confronto (ou “Sanduíche”) para sequências: vamos usar a definição de limite para mostrar que \bigl(b_n\bigr) também converge a L.

Passo 2

Recordando a definição de limite de sequência: dizer que \displaystyle a_n \to L significa que, para todo \varepsilon>0, existe N_1\in\mathbb{N} de modo que, sempre que n>N_1,
\lvert a_n - L\rvert < \varepsilon.
De modo análogo, como \displaystyle c_n \to L, para o mesmo \varepsilon>0 existe N_2\in\mathbb{N} tal que, sempre que n>N_2,
\lvert c_n - L\rvert < \varepsilon.

Passo 3

Agora fixamos arbitrariamente \varepsilon>0. Temos três números naturais: n_0 (da hipótese de aperto), N_1 (para a_n) e N_2 (para c_n). Definimos
N \;=\;\max\{\,n_0,\,N_1,\,N_2\}.
Então, sempre que n>N, valem simultaneamente:
  1. n>n_0 implica a_n \le b_n \le c_n,
  2. n>N_1 implica \lvert a_n - L\rvert<\varepsilon, ou seja, -\varepsilon < a_n - L < \varepsilon,
  3. n>N_2 implica \lvert c_n - L\rvert<\varepsilon, ou seja, -\varepsilon < c_n - L < \varepsilon.
    Da cadeia
L - \varepsilon < a_n \le b_n \le c_n < L + \varepsilon
segue
L - \varepsilon < b_n < L + \varepsilon,
ou seja,
\lvert b_n - L\rvert < \varepsilon.

Passo 4

Acabamos de mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, se n>N, então \lvert b_n - L\rvert<\varepsilon. Pela definição de limite de sequência, isso implica
b_n \;\longrightarrow\; L.

Resposta

\displaystyle b_n \rightarrow L.

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