(20 Pontos) Sejam
e
sequências de números reais. Suponha que
e existe
de modo que se
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá três sequências reais
,
e
tais que
-
quando , -
quando , - existe
tal que, para todo ,
O conteúdo aqui é o Teorema do Confronto (ou “Sanduíche”) para sequências: vamos usar a definição de limite para mostrar que
também converge a
.
Passo 2
Recordando a definição de limite de sequência: dizer que
significa que, para todo
, existe
de modo que, sempre que
,
De modo análogo, como
, para o mesmo
existe
tal que, sempre que
,
Passo 3
Agora fixamos arbitrariamente
. Temos três números naturais:
(da hipótese de aperto),
(para
) e
(para
). Definimos
Então, sempre que
, valem simultaneamente:
-
implica , -
implica , ou seja, , -
implica , ou seja, .
Da cadeia
segue
ou seja,
Passo 4
Acabamos de mostrar que, para todo
, existe
tal que, se
, então
. Pela definição de limite de sequência, isso implica