(Questão 3 da P1 de 2011-2) Encontre uma função vetorial
que satisfaz
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema vetorial
com condição inicial
.
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear de EDOs de ordem 1. Vamos reduzir a um EDO escalar de ordem 2 para uma das componentes, resolver e depois obter a outra.
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear de EDOs de ordem 1. Vamos reduzir a um EDO escalar de ordem 2 para uma das componentes, resolver e depois obter a outra.
Passo 2
Da segunda componente temos
Diferenciando novamente,
Pela primeira equação,
. Como
, obtemos a EDO escalar
ou seja
Passo 3
Resolvendo a homogênea
temos o polinômio característico
, com raiz dupla
. Logo
Passo 4
Para uma particular de
fazemos o “ansatz”
pois
é raiz dupla. Calculando derivadas:
Substituindo na equação, vem
e queremos
, logo
. Portanto
Passo 5
A solução geral para
é
Então
Passo 6
Aplicando as condições iniciais
:
Para :
Para
Para
: