(Questão 3 da P1 de 2011-2) Encontre uma função vetorial \rho(t)=(x(t), y(t)) que satisfaz
\rho^{\prime}(t)=\left(2 x(t)-y(t)+\mathrm{e}^{t}, x(t)\right), \quad \rho(0)=(1,2) .

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema vetorial
\rho'(t) = \bigl(x'(t),y'(t)\bigr) = \bigl(2x(t)-y(t)+e^t,\;x(t)\bigr),
com condição inicial \rho(0)=(1,2).
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear de EDOs de ordem 1. Vamos reduzir a um EDO escalar de ordem 2 para uma das componentes, resolver e depois obter a outra.

Passo 2

Da segunda componente temos
y'(t) = x(t).
Diferenciando novamente,
y''(t) = x'(t).
Pela primeira equação, x'(t)=2x(t)-y(t)+e^t. Como x(t)=y'(t), obtemos a EDO escalar
y''(t) = 2y'(t) - y(t) + e^t,
ou seja
y'' - 2y' + y = e^t.

Passo 3

Resolvendo a homogênea
y'' - 2y' + y = 0
temos o polinômio característico (r-1)^2=0, com raiz dupla r=1. Logo
y_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^t.

Passo 4

Para uma particular de
y'' - 2y' + y = e^t
fazemos o “ansatz”
y_p(t) = A\,t^2 e^t,
pois r=1 é raiz dupla. Calculando derivadas:
y_p' = A\,e^t(2t + t^2), \quad y_p'' = A\,e^t(t^2 + 4t + 2).
Substituindo na equação, vem
y_p'' - 2y_p' + y_p = A\,e^t\bigl[(t^2+4t+2)-2(2t+t^2)+t^2\bigr] = 2A\,e^t
e queremos 2A\,e^t = e^t, logo A=\tfrac12. Portanto
y_p(t) = \tfrac12\,t^2 e^t.

Passo 5

A solução geral para y é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^t + \tfrac12\,t^2 e^t = e^t\Bigl(C_1 + C_2\,t + \tfrac12\,t^2\Bigr).
Então
x(t) = y'(t) = \frac{d}{dt}\Bigl[e^t(C_1 + C_2t + \tfrac12t^2)\Bigr] = e^t\Bigl(C_1 + C_2 + (C_2+1)\,t + \tfrac12t^2\Bigr).

Passo 6

Aplicando as condições iniciais \rho(0)=(x(0),y(0))=(1,2):
Para y(0)=2:
y(0)=e^0\bigl(C_1 + 0 + 0\bigr)=C_1=2.
Para x(0)=1:
x(0)=e^0\bigl(C_1 + C_2 + 0 +0\bigr)=C_1 + C_2=1 \;\Longrightarrow\; 2 + C_2=1 \;\Longrightarrow\; C_2=-1.

Resposta

\rho(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \Bigl(e^t\bigl(1+\tfrac12t^2\bigr),\;e^t\bigl(2 - t + \tfrac12t^2\bigr)\Bigr).

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