(Questão 1(b) da PF de 2008-2) Determine o valor da constante \alpha \in \mathbb{R} sabendo-se que as funções u(x) e v(x) satisfazem o seguinte:
\left\{\begin{array} { l } { u ^ { \prime \prime } - 4 u ^ { \prime } + 3 u = 0 } \\\ { u ( 0 ) = 0 } \\\ { u ^ { \prime } ( 0 ) = \alpha } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} v^{\prime \prime}-4 v^{\prime}-12 v=0 \\\ v(0)=0 \\\ v^{\prime}(0)=\alpha \end{array} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{u(x)^{2}}{v(x)}=32\right.\right.
Passo 1
O enunciado dá dois problemas de valor inicial para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos achar as soluções u(x) e v(x) em termos de \alpha e depois impor
\lim_{x\to\infty}\frac{u(x)^2}{v(x)}=32.
O conteúdo é resolução de EDOs homogêneas por raiz do polinômio característico e análise assintótica de exponenciais.