(Questão 1(b) da PF de 2008-2) Determine o valor da constante \alpha \in \mathbb{R} sabendo-se que as funções u(x) e v(x) satisfazem o seguinte:
\left\{\begin{array} { l } { u ^ { \prime \prime } - 4 u ^ { \prime } + 3 u = 0 } \\\ { u ( 0 ) = 0 } \\\ { u ^ { \prime } ( 0 ) = \alpha } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} v^{\prime \prime}-4 v^{\prime}-12 v=0 \\\ v(0)=0 \\\ v^{\prime}(0)=\alpha \end{array} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{u(x)^{2}}{v(x)}=32\right.\right.

Passo 1

O enunciado dá dois problemas de valor inicial para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos achar as soluções u(x) e v(x) em termos de \alpha e depois impor
\lim_{x\to\infty}\frac{u(x)^2}{v(x)}=32.
O conteúdo é resolução de EDOs homogêneas por raiz do polinômio característico e análise assintótica de exponenciais.

Passo 2

Para u temos
u''-4u'+3u=0,
cujo polinômio característico é
r^2-4r+3=(r-1)(r-3)=0\;\Rightarrow\;r=1,3.
Logo
u(x)=A e^{x}+B e^{3x}.
Das condições u(0)=0 e u'(0)=\alpha vem
A+B=0,\quad u'(x)=A e^{x}+3B e^{3x}\;\Rightarrow\;u'(0)=A+3B=\alpha.
Subtraindo A+B=0 de A+3B=\alpha 2B=\alpha, então B=\tfrac\alpha2 e A=-\tfrac\alpha2. Assim
u(x)=\frac\alpha2\bigl(e^{3x}-e^{x}\bigr).

Passo 3

Para v temos
v''-4v'-12v=0,
com polinômio característico
r^2-4r-12=0\;\Rightarrow\;r=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}2=6,\,-2.
Logo
v(x)=C e^{6x}+D e^{-2x}.
Das condições v(0)=0 e v'(0)=\alpha segue
C+D=0,\quad v'(x)=6C e^{6x}-2D e^{-2x}\;\Rightarrow\;v'(0)=6C-2D=\alpha.
Somando e subtraindo resulta 8C=\alpha, ou seja C=\tfrac\alpha8 e D=-\tfrac\alpha8. Portanto
v(x)=\frac\alpha8\bigl(e^{6x}-e^{-2x}\bigr).

Passo 4

Para x\to\infty, u(x)\sim\frac\alpha2e^{3x} e v(x)\sim\frac\alpha8e^{6x}. Então
\frac{u(x)^2}{v(x)} \sim\frac{\bigl(\frac\alpha2e^{3x}\bigr)^2}{\frac\alpha8e^{6x}} =\frac{\frac{\alpha^2}{4}e^{6x}}{\frac\alpha8e^{6x}} =2\alpha.
Impondo 2\alpha=32 obtemos \alpha=16.

Resposta

\alpha=16

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