(20 Pontos) Suponha que, para todo n \geq 1,\left|a_{n}-a\right| \leq \frac{1}{n}. Calcule e justifique \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência (a_n) e um número a tais que, para todo n\ge1,
|a_n - a| \le \frac{1}{n}.
O conteúdo é convergência de sequências e usaremos a definição de limite: dado \varepsilon>0, encontramos N tal que, para todo n\ge N, |a_n - a|<\varepsilon.

Passo 2

Seja \varepsilon>0. Pelo Princípio Arquimediano, existe N\in\mathbb{N} tal que
N > \frac{1}{\varepsilon}.
Então, para todo n\ge N temos
|a_n - a| \le \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \varepsilon.
Isso mostra que, segundo a definição, \lim_{n\to\infty}a_n = a.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = a

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