(20 Pontos) Sejam \mathscr{F}(\mathbb{R}) o anel das funções reais, I=\{f \in \mathscr{F}(\mathbb{R}) ; f(1)=1\} e J=\{f \in \mathscr{F}(\mathbb{R}) ; f(5)= 0\}. I é ideal? e J ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trabalha no anel das funções reais sob adição e multiplicação ponto a ponto, que chamamos de \mathscr{F}(\mathbb{R}). Definimos
I = \{f\in\mathscr{F}(\mathbb{R}) \mid f(1)=1\}, \quad J = \{f\in\mathscr{F}(\mathbb{R}) \mid f(5)=0\}.
Para verificar se um subconjunto K\subseteq\mathscr{F}(\mathbb{R}) é ideal, precisamos checar duas propriedades:
  1. K é subgrupo aditivo (contém 0, fechado em subtração).
  2. Para todo h\in\mathscr{F}(\mathbb{R}) e f\in K, vale hf\in K (propriedade de absorção).

Passo 2

Testando I como subgrupo aditivo: tomemos f,g\in I. Então f(1)=1 e g(1)=1. Mas
(f+g)(1)=f(1)+g(1)=1+1=2\neq1,
logo f+g\notin I. Falhando a clausura em adição, I não é nem subgrupo aditivo, portanto não pode ser ideal.

Passo 3

Testando J:
  • Fechamento em subtração: se f,g\in J então f(5)=g(5)=0 e
(f-g)(5)=f(5)-g(5)=0-0=0,
então f-g\in J. O elemento zero (função identicamente nula) está em J pois 0(5)=0.
  • Propriedade de absorção: para qualquer h\in\mathscr{F}(\mathbb{R}) e f\in J temos
(hf)(5)=h(5)\,f(5)=h(5)\cdot0=0,
logo hf\in J.
Assim, J é subgrupo aditivo e satisfaz a absorção, então é ideal.

Resposta

I não é ideal; J é ideal.

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