(20 Pontos) Sejam
o anel das funções reais,
e
.
é ideal? e
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado trabalha no anel das funções reais sob adição e multiplicação ponto a ponto, que chamamos de
. Definimos
Para verificar se um subconjunto
é ideal, precisamos checar duas propriedades:
-
é subgrupo aditivo (contém , fechado em subtração). - Para todo
e , vale (propriedade de absorção).
Passo 2
Testando
como subgrupo aditivo: tomemos
. Então
e
. Mas
logo
. Falhando a clausura em adição,
não é nem subgrupo aditivo, portanto não pode ser ideal.
Passo 3
Testando
:
- Fechamento em subtração: se
então e
então
. O elemento zero (função identicamente nula) está em
pois
.
- Propriedade de absorção: para qualquer
e temos
logo
.
Assim,
é subgrupo aditivo e satisfaz a absorção, então é ideal.