Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.
f(x)=(\sin x+\cos x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(x) = \sin x + \cos x
é contínua em todo o seu domínio. O conteúdo que vamos usar é que as funções elementares \sin x e \cos x são contínuas em \mathbb{R} e que a soma de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Sabemos pela teoria de funções elementares que \sin x\te e \cos x\te são contínuas em todo \mathbb{R}. Isso decorre, por exemplo, de se expressarem por séries de potências que convergem para todo x\in\mathbb{R}, ou de propriedades de limites em torno de cada ponto.

Passo 3

Uma propriedade básica de continuidade diz que, se g\te e h\te são contínuas num mesmo ponto a\in\mathbb{R}, então a soma g(x)+h(x)\te também é contínua em a. Como essa propriedade vale em todo o domínio de g\te e h, concluímos que a soma é contínua em todo o conjunto onde ambas estão definidas.

Passo 4

Como \sin x\te e \cos x\te são contínuas em \mathbb{R} e o domínio de f é exatamente \mathbb{R}, a soma
f(x)=\sin x+\cos x
é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

A função f(x)=\sin x+\cos x é contínua em seu domínio \mathbb{R} porque \sin x e \cos x são contínuas em \mathbb{R} e a soma de funções contínuas é contínua.

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