Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.
f(x)=\sqrt{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\sqrt{x^{2}+4}
é contínua em seu domínio. O conteúdo aqui é a continuidade por propriedades: sabemos que polinômios são contínuos, soma de contínuas é contínua e composição de contínuas é contínua.

Passo 2

Considere a função intermédia
g(x)=x^{2}+4.
Como x\mapsto x^{2} é um polinômio, ela é contínua em \mathbb{R}. A função constante x\mapsto4 também é contínua em \mathbb{R}. Pela propriedade de soma de funções contínuas, g(x)=x^{2}+4 é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Agora considere a função
h(y)=\sqrt{y},
que é contínua em seu domínio [0,\infty). Note que para todo x\in\mathbb{R}, temos
g(x)=x^{2}+4\ge4>0,
logo g(x)\in[0,\infty) e h está bem definida sobre g(x).

Passo 4

A função original é a composição
f(x)=h\bigl(g(x)\bigr).
Como g é contínua em \mathbb{R} e h é contínua em [0,\infty), a composição f é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

A função f(x)=\sqrt{x^{2}+4} é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados