(20 pontos) Um sistema massa-mola de massa
é modelado pela equação diferencial:
(a) Encontre a solução geral. Qual é o valor da frequência natural do sistema?
(b) Supor que no sistema atua uma força externa dada por
, resolva o p.v.i:
. Explique que ocorre com o sistema quando
.
(a) Encontre a solução geral. Qual é o valor da frequência natural do sistema?
(b) Supor que no sistema atua uma força externa dada por
Passo 1
O enunciado trata de um sistema massa–mola com
,kg regido pela equação
e depois submetido a uma força externa
.
(a) Pede-se a solução geral do homogêneo e a frequência natural.
(b) Pede-se resolver o problema de valor inicial
(a) Pede-se a solução geral do homogêneo e a frequência natural.
(b) Pede-se resolver o problema de valor inicial
e explicar o que acontece quando
.
O conteúdo usado será equações diferenciais lineares de segunda ordem, solução homogênea, particular por coeficientes a determinar e análise de ressonância.
O conteúdo usado será equações diferenciais lineares de segunda ordem, solução homogênea, particular por coeficientes a determinar e análise de ressonância.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
com raízes
. Logo
A frequência natural do sistema é
Passo 3
Para a equação forçada
notamos que a frequência da força coincidente com
leva a ressonância. Usamos o palpite
Calculamos
logo
Para ter
precisamos de
.
Passo 4
A solução geral da forçada é
Impondo
dá
. Calculando
e usando
resulta em
. Assim
Passo 5
O termo
cresce em amplitude proporcional a
. Portanto, quando
, as oscilações tornam-se cada vez maiores, caracterizando ressonância e resposta não limitada.
Resposta
(a) A solução geral do homogêneo é
e a frequência natural é
,rad/s.
(b) A solução com ,
é
(b) A solução com
Como
, o termo
faz a amplitude crescer sem limite (ressonância).