(20 pontos) Um sistema massa-mola de massa m=1 k g é modelado pela equação diferencial: y^{\prime \prime}(x)+y(x)=0
(a) Encontre a solução geral. Qual é o valor da frequência natural do sistema?
(b) Supor que no sistema atua uma força externa dada por f(x)=5 \cos x, resolva o p.v.i: y^{\prime \prime}+y=5 \cos x, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1. Explique que ocorre com o sistema quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa–mola com m=1,kg regido pela equação
y''(x)+y(x)=0
e depois submetido a uma força externa f(x)=5\cos x.
(a) Pede-se a solução geral do homogêneo e a frequência natural.
(b) Pede-se resolver o problema de valor inicial
y''+y=5\cos x,\quad y(0)=0,\;y'(0)=1,
e explicar o que acontece quando x\to\infty.
O conteúdo usado será equações diferenciais lineares de segunda ordem, solução homogênea, particular por coeficientes a determinar e análise de ressonância.

Passo 2

A equação homogênea é
y_h''+y_h=0.
A equação característica é r^2+1=0 com raízes r=\pm i. Logo
y_h(x)=A\cos x + B\sin x.
A frequência natural do sistema é
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1}{1}} = 1\;\text{rad/s}.

Passo 3

Para a equação forçada
y''+y=5\cos x
notamos que a frequência da força coincidente com \omega_n leva a ressonância. Usamos o palpite
y_p(x)=a\,x\sin x.
Calculamos
y_p' = a\sin x + a\,x\cos x, \quad y_p'' = 2a\cos x - a\,x\sin x,
logo
y_p'' + y_p = 2a\cos x.
Para ter 2a\cos x=5\cos x precisamos de a=\tfrac{5}{2}.

Passo 4

A solução geral da forçada é
y(x)=A\cos x + B\sin x + \frac{5}{2}\,x\sin x.
Impondo y(0)=0 A=0. Calculando
y'(x)= -A\sin x + B\cos x + \frac{5}{2}\sin x + \frac{5}{2}\,x\cos x
e usando y'(0)=1 resulta em B=1. Assim
y(x)=\sin x + \frac{5}{2}\,x\sin x.

Passo 5

O termo \tfrac{5}{2}x\sin x cresce em amplitude proporcional a x. Portanto, quando x\to\infty, as oscilações tornam-se cada vez maiores, caracterizando ressonância e resposta não limitada.

Resposta

(a) A solução geral do homogêneo é
y_h(x)=A\cos x + B\sin x,
e a frequência natural é \omega_n=1,rad/s.
(b) A solução com y(0)=0, y'(0)=1 é
y(x)=\sin x + \frac{5}{2}\,x\sin x.
Como x\to\infty, o termo \tfrac{5}{2}x\sin x faz a amplitude crescer sem limite (ressonância).

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