(
pontos) Considere a equação diferencial de primeira ordem
.
(a) Encontre as soluções de equilibrio e classifique-as (assintoticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis). Represente a linha de fase.
(b) Sem resolver a equação, use o item (a) para determinar o
para o p.v.i.:
, quando:
(i)
,
(ii) $y_{0}=-2.
(a) Encontre as soluções de equilibrio e classifique-as (assintoticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis). Represente a linha de fase.
(b) Sem resolver a equação, use o item (a) para determinar o
(i)
(ii) $y_{0}=-2.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
e pede (a) os pontos de equilíbrio
, sua classificação qualitativa e a linha de fase, e (b) sem resolver explicitamente a equação, usar essa classificação para achar
quando nos casos (i)
e (ii)
.
O conteúdo é análise qualitativa de pontos de equilíbrio em ODEs autônomas, que exige:
quando
O conteúdo é análise qualitativa de pontos de equilíbrio em ODEs autônomas, que exige:
- achar os equilíbrios resolvendo
, - estudar o sinal de
em cada região para classificar a estabilidade, - usar o diagrama de fases para prever o comportamento assintótico.
Passo 2
Encontrar os equilíbrios:
Logo existem duas soluções de equilíbrio:
Passo 3
Determinar o sinal de
:
- Para
, tem-se e , então . - Para
, também e , logo . - Para
, mas , logo .
A classificação dos equilíbrios vem de como as setas da fase apontam:
- Em
: à esquerda ( ) temos (setas apontam para cima, isto é, aumentam ); à direita ( ) também (setas para cima). Assim, a partir de valores abaixo de 0 as soluções vão em direção a 0, mas a partir de valores acima de 0 afastam-se de 0. Isso caracteriza como ponto semiestável. - Em
: para (mas positivo) vem (setas apontam para cima, aproximando-se de 4) e para vem (setas apontam para baixo, também aproximando-se de 4). Logo é assintoticamente estável.
Passo 4
Linha de fase (diagrama unidimensional em
):
- Região
: setas para direita (ou seja, cresce em direção a 0). - Região
: setas para direita (cresce em direção a 4). - Região
: setas para esquerda (decresce em direção a 4).
Em resumo:
Passo 5
Caso (i):
.
Como nessa região , a solução cresce com
até se aproximar de
, que é ponto estável.
Portanto
Como nessa região
Portanto
Passo 6
Caso (ii):
.
Para temos
, logo a solução aumenta até atingir
. Como
é estável pela esquerda (semiestável), a solução tende a 0 conforme
.
Assim
Para
Assim
Resposta
(a) Equilíbrios:
(semiestável),
(assintoticamente estável). Linha de fase: setas para a direita em
e para a esquerda em
.
(b)(i) .
(b)(ii) .
(b)(i)
(b)(ii)