( \mathbf{2 0} pontos) Considere a equação diferencial de primeira ordem y^{\prime}(x)=4 y^{2}-y^{3}.
(a) Encontre as soluções de equilibrio e classifique-as (assintoticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis). Represente a linha de fase.
(b) Sem resolver a equação, use o item (a) para determinar o \lim _{x \rightarrow \infty} y(x) para o p.v.i.: y^{\prime}=4 y^{2}-y^{3}, y(0)=y_{0}, quando:
(i) 0<y_{0}<4,
(ii) $y_{0}=-2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
y' = 4y^2 - y^3
e pede (a) os pontos de equilíbrio y^*, sua classificação qualitativa e a linha de fase, e (b) sem resolver explicitamente a equação, usar essa classificação para achar
\displaystyle\lim_{x\to\infty}y(x)
quando y(0)=y_0 nos casos (i) 0<y_0<4 e (ii) y_0=-2.
O conteúdo é análise qualitativa de pontos de equilíbrio em ODEs autônomas, que exige:
  1. achar os equilíbrios resolvendo 4y^2-y^3=0,
  2. estudar o sinal de f(y)=4y^2-y^3 em cada região para classificar a estabilidade,
  3. usar o diagrama de fases para prever o comportamento assintótico.

Passo 2

Encontrar os equilíbrios:
4y^2 - y^3 = y^2(4 - y) = 0
Logo existem duas soluções de equilíbrio:
y^* = 0 \quad\text{e}\quad y^* = 4.

Passo 3

Determinar o sinal de f(y)=4y^2-y^3=y^2(4-y):
  • Para y<0, tem-se y^2>0 e 4-y>0, então f(y)>0.
  • Para 0<y<4, também y^2>0 e 4-y>0, logo f(y)>0.
  • Para y>4, y^2>0 mas 4-y<0, logo f(y)<0.
A classificação dos equilíbrios vem de como as setas da fase apontam:
  • Em y=0: à esquerda ( y<0) temos f>0 (setas apontam para cima, isto é, aumentam y); à direita ( 0<y<4) também f>0 (setas para cima). Assim, a partir de valores abaixo de 0 as soluções vão em direção a 0, mas a partir de valores acima de 0 afastam-se de 0. Isso caracteriza y=0 como ponto semiestável.
  • Em y=4: para y<4 (mas positivo) vem f>0 (setas apontam para cima, aproximando-se de 4) e para y>4 vem f<0 (setas apontam para baixo, também aproximando-se de 4). Logo y=4 é assintoticamente estável.

Passo 4

Linha de fase (diagrama unidimensional em y):
  • Região y<0: setas para direita (ou seja, y cresce em direção a 0).
  • Região 0<y<4: setas para direita (cresce em direção a 4).
  • Região y>4: setas para esquerda (decresce em direção a 4).
Em resumo:
\displaystyle \cdots \longrightarrow\;0\;\longrightarrow\;\cdots\longrightarrow\;4\;\longleftarrow\cdots

Passo 5

Caso (i): 0<y_0<4.
Como nessa região y'\!>0, a solução cresce com x até se aproximar de y=4, que é ponto estável.
Portanto
\lim_{x\to\infty}y(x) = 4.

Passo 6

Caso (ii): y_0=-2.
Para y<0 temos y'>0, logo a solução aumenta até atingir y=0. Como y=0 é estável pela esquerda (semiestável), a solução tende a 0 conforme x\to\infty.
Assim
\lim_{x\to\infty}y(x) = 0.

Resposta

(a) Equilíbrios: \;y^*=0 (semiestável), \;y^*=4 (assintoticamente estável). Linha de fase: setas para a direita em y<4 e para a esquerda em y>4.
(b)(i) \displaystyle\lim_{x\to\infty}y(x)=4.
(b)(ii) \displaystyle\lim_{x\to\infty}y(x)=0.

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