( \mathbf{2 0} pontos) (a) Use o teorema de existência e unicidade de soluções para mostrar que o problema de valor inicial a seguir, possui solução única:
y^{\prime}(x)=-2 x y^{3} ; \quad y(-1)=-1 .
(b) Verifique que y(x)=\frac{-1}{\sqrt{2 x^{2}-1}} é a solução do p.v.i. do item (a) e determine o maior intervalo onde y(x) é solução do p.v.i.

Passo 1

O enunciado trata do problema de valor inicial
y'(x) = -2x\,y^3(x),\quad y(-1) = -1.
O conteúdo envolve o Teorema de Existência e Unicidade de Picard– Lindelöf para ODEs de primeira ordem e, em seguida, a resolução por separação de variáveis para encontrar explicitamente a solução.

Passo 2

Definimos
f(x,y) = -2x\,y^3.
Observamos que f é contínua em toda \mathbb{R}^2 e sua derivada parcial em relação a y
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -6x\,y^2
também é contínua em \mathbb{R}^2. Pelo Teorema de Picard– Lindelöf, existe um único solução local ao problema de valor inicial passando por (x_0,y_0)=(-1,-1).

Passo 3

Para achar a forma explícita, separamos variáveis:
\frac{dy}{dx} = -2x\,y^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^3} = -2x\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int y^{-3}\,dy = \int -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac12\,y^{-2} = -x^2 + C,
isto é
y^{-2} = 2x^2 + C_1,
onde C_1 = -2C.

Passo 4

Usamos y(-1)=-1 para determinar C_1:
em x=-1 temos y^{-2} = (-1)^{-2} = 1, logo
1 = 2\cdot(-1)^2 + C_1 = 2 + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -1.
Portanto
y^{-2} = 2x^2 -1 \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{2x^2 -1}}.
Como y(-1)=-1 é negativo, escolhemos o sinal “–”:
y(x) = \frac{-1}{\sqrt{2x^2 -1}}.

Passo 5

Verificamos rapidamente que esta y(x) satisfaz a ODE:
y(x) = -(2x^2 -1)^{-1/2} \quad\Longrightarrow\quad y'(x) = -\bigl(-\tfrac12\bigr)(2x^2-1)^{-3/2}\cdot(4x) = -2x\,(2x^2-1)^{-3/2} = -2x\,y^3(x).
E claramente y(-1) = -1. Logo é solução do PVI.

Passo 6

A expressão \sqrt{2x^2-1} exige 2x^2-1>0, isto é x^2>\tfrac12. Como a condição inicial está em x=-1, o intervalo máximo conectado contendo -1 é
\bigl(-\infty,\,-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).
Neste intervalo a solução é bem definida e única.

Resposta

(a) Pelo Teorema de Picard– Lindelöf, f(x,y)=-2x\,y^3 e \partial f/\partial y são contínuas em \mathbb{R}^2, garantindo existência e unicidade de solução local ao PVI dado.
(b) A solução é
y(x) = \frac{-1}{\sqrt{2x^2 -1}}
e o maior intervalo em que ela resolve o PVI passando por x=-1 é
\bigl(-\infty,\,-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).

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