(
pontos) (a) Use o teorema de existência e unicidade de soluções para mostrar que o problema de valor inicial a seguir, possui solução única:
(b) Verifique que
é a solução do p.v.i. do item (a) e determine o maior intervalo onde
é solução do p.v.i.
Passo 1
O enunciado trata do problema de valor inicial
O conteúdo envolve o Teorema de Existência e Unicidade de Picard– Lindelöf para ODEs de primeira ordem e, em seguida, a resolução por separação de variáveis para encontrar explicitamente a solução.
Passo 2
Definimos
Observamos que
é contínua em toda
e sua derivada parcial em relação a
também é contínua em
. Pelo Teorema de Picard– Lindelöf, existe um único solução local ao problema de valor inicial passando por
.
Passo 3
Para achar a forma explícita, separamos variáveis:
Integramos ambos os lados:
isto é
onde
.
Passo 4
Usamos
para determinar
:
em temos
, logo
em
Portanto
Como
é negativo, escolhemos o sinal “–”:
Passo 5
Verificamos rapidamente que esta
satisfaz a ODE:
E claramente
. Logo é solução do PVI.
Passo 6
A expressão
exige
, isto é
. Como a condição inicial está em
, o intervalo máximo conectado contendo
é
Neste intervalo a solução é bem definida e única.
Resposta
(a) Pelo Teorema de Picard– Lindelöf,
e
são contínuas em
, garantindo existência e unicidade de solução local ao PVI dado.
(b) A solução é
(b) A solução é
e o maior intervalo em que ela resolve o PVI passando por
é