Faça a proposta adequada para a solução particular y_{p}(x) da equação diferencial: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=g(x), para:
g(x)=5 x^{2} e^{x},

Passo 1

O enunciado pede que, para a equação diferencial
y'' + 2y' - 3y = g(x),
com g(x) = 5x^2 e^x, façamos a proposta de uma solução particular y_p(x) usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro identificamos a solução geral da homogênea associada
y'' + 2y' - 3y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 2r - 3 = 0
com raízes r = 1 e r = -3. Como r=1 é uma raiz simples, a função e^x aparece na solução homogênea.

Passo 3

Para g(x)=5x^2 e^x, sem superposição, a proposta seria P_2(x)e^x, onde P_2 é polinômio de grau 2. Porém, como e^x está na homogênea (multiplicidade 1), multiplicamos por x. Logo, tomamos
y_p(x) = x\,\bigl(Ax^2 + Bx + C\bigr)\,e^x
ou, reescrevendo,
y_p(x) = e^x\,(A x^3 + B x^2 + C x).

Resposta

A proposta adequada é
y_p(x) = e^x\,(A x^3 + B x^2 + C x),
onde A, B e C são coeficientes a determinar.

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