( \mathbf{2 0} pontos) Use o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para a equação diferencial y^{\prime \prime}(t)-2 y^{\prime}(t)+y(t)=\frac{e^{t}}{t^{2}}, para t>0.
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular para a equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros.
Conteúdo envolvido: solução geral da homogênea, cálculo do Wronskiano e determinação das funções variáveis u_{1}(t) e u_{2}(t).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' - 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^{2} - 2r + 1 = 0\;\Longrightarrow\;(r-1)^{2}=0,
com raiz dupla r=1. Portanto as soluções fundamentais são