( \mathbf{2 0} pontos) Use o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para a equação diferencial y^{\prime \prime}(t)-2 y^{\prime}(t)+y(t)=\frac{e^{t}}{t^{2}}, para t>0.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação diferencial
y''(t) - 2y'(t) + y(t) = \frac{e^{t}}{t^{2}},\quad t>0
usando o método da variação dos parâmetros.
Conteúdo envolvido: solução geral da homogênea, cálculo do Wronskiano e determinação das funções variáveis u_{1}(t) e u_{2}(t).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' - 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^{2} - 2r + 1 = 0\;\Longrightarrow\;(r-1)^{2}=0,
com raiz dupla r=1. Portanto as soluções fundamentais são
y_{1}(t) = e^{t}, \quad y_{2}(t) = t\,e^{t}.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(t) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{t} & t\,e^{t} \\\ e^{t} & (t+1)\,e^{t} \end{vmatrix} = e^{t}\,(t+1)\,e^{t} - e^{t}\,t\,e^{t} = e^{2t}.

Passo 4

As fórmulas para as derivadas das funções variáveis são
u_{1}'(t) = -\,\frac{g(t)\,y_{2}(t)}{W(t)}, \quad u_{2}'(t) = \frac{g(t)\,y_{1}(t)}{W(t)},
onde g(t)=\frac{e^{t}}{t^{2}}.

Passo 5

Substituindo g(t), y_{1}, y_{2} e W:
u_{1}'(t) = -\,\frac{\frac{e^{t}}{t^{2}}\;\cdot\;t\,e^{t}}{e^{2t}} = -\frac{t\,e^{2t}}{t^{2}\,e^{2t}} = -\frac{1}{t},
u_{2}'(t) = \frac{\frac{e^{t}}{t^{2}}\;\cdot\;e^{t}}{e^{2t}} = \frac{e^{2t}}{t^{2}\,e^{2t}} = \frac{1}{t^{2}}.
Integrando,
u_{1}(t) = \int -\frac{1}{t}\,dt = -\ln t, \quad u_{2}(t) = \int \frac{1}{t^{2}}\,dt = -\frac{1}{t}.

Passo 6

A solução particular pelo método da variação dos parâmetros é
y_{p}(t) = u_{1}(t)\,y_{1}(t) + u_{2}(t)\,y_{2}(t) = \bigl(-\ln t\bigr)\,e^{t} + \Bigl(-\frac{1}{t}\Bigr)\,t\,e^{t} = -e^{t}\ln t - e^{t}.

Resposta

A solução particular escolhida é
y_{p}(t) = -e^{t}\bigl(\ln t + 1\bigr).

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