(\mathbf{2 0}) pontos) Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
G(s)=\frac{3}{(s-1)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a anti-transformada de Laplace de G(s)=\frac{3}{(s-1)^{2}}. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos usar a propriedade de deslocamento no domínio de s junto com a fórmula para potências de t.

Passo 2

A teoria necessária é a relação
\mathcal{L}\{t^n e^{a t}\} \;=\;\frac{n!}{(s - a)^{n+1}},
válida para n\in\mathbb{N}_0 e a constante.

Passo 3

Para inverter essa fórmula, note que
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{(s - a)^{n+1}}\Big\} = \frac{t^n e^{a t}}{n!}.
No nosso caso temos (s-1)^{2} no denominador, isto é, n+1=2 e portanto n=1.

Passo 4

Identificando a=1 e n=1, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{(s - 1)^2}\Big\} = \frac{t^1 e^{1\cdot t}}{1!} = t\,e^{t}.
Multiplicando pelo fator 3, a anti-transformada de G(s) é
g(t) = 3\,t\,e^{t}.

Resposta

g(t)=3\,t\,e^{t}

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