Calcule as integrais trigonométricas indefinidas mostradas abaixo.
\int 48 \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trigonométrica
\int 48\,\operatorname{sen}^2 x\,\cos^4 x\,dx.
O conteúdo principal aqui é o uso de identidades de redução de potência para expressar potências pares de seno e cosseno em funções de ângulos duplos, permitindo depois expandir e integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos as identidades
\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^4 x = \Bigl(\frac{1 + \cos 2x}{2}\Bigr)^2.
Então
\operatorname{sen}^2 x\,\cos^4 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\;\frac{(1 + \cos 2x)^2}{4} = \frac{1}{8}\,(1 - \cos 2x)\,(1 + \cos 2x)^2.
Multiplicando por 48, o integrando vira
48\,\operatorname{sen}^2 x\,\cos^4 x = 48\cdot\frac{1}{8}\,(1 - \cos 2x)\,(1 + \cos 2x)^2 = 6\,(1 - \cos 2x)\,(1 + \cos 2x)^2.

Passo 3

Expandimos o polinômio em \cos 2x. Seja c=\cos 2x. Então
(1 - c)(1 + c)^2 = (1 - c)(1 + 2c + c^2) = 1 + c - c^2 - c^3.
Logo o integrando é
6\bigl(1 + \cos 2x - \cos^2 2x - \cos^3 2x\bigr).

Passo 4

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int 6\,dx = 6x.
  2. \displaystyle \int 6\cos 2x\,dx = 3\operatorname{sen} 2x.
  3. Para \displaystyle \int -6\cos^2 2x\,dx, usamos
    \cos^2 2x = \tfrac{1+\cos 4x}{2}, daí \int -6\cos^2 2x\,dx = -6\int\frac{1+\cos 4x}{2}\,dx = -3x - \tfrac{3}{4}\operatorname{sen} 4x.
  4. Para \displaystyle \int -6\cos^3 2x\,dx, fazemos u=\operatorname{sen} 2x, du=2\cos 2x\,dx, e escrevemos
    \cos^3 2x = \cos^2 2x\cdot\cos 2x = (1-u^2)\cos 2x. Assim \int -6\cos^3 2x\,dx = -6\int (1-u^2)\frac{du}{2} = -3\bigl(u - \tfrac{u^3}{3}\bigr) = -3\operatorname{sen} 2x + \operatorname{sen}^3 2x.

Passo 5

Somando todos os termos obtidos:
F(x)=6x +3\operatorname{sen} 2x -3x - \tfrac{3}{4}\operatorname{sen} 4x -3\operatorname{sen} 2x + \operatorname{sen}^3 2x + C =3x - \tfrac{3}{4}\operatorname{sen} 4x + \operatorname{sen}^3 2x + C.

Resposta

\boxed{\,\int 48\,\operatorname{sen}^2 x\,\cos^4 x\,dx =3x - \frac{3}{4}\operatorname{sen} 4x + \operatorname{sen}^3 2x + C.}

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