3 [2.0 PONTOS]Resolver
4 \sqrt{2} x y^{2} d x+\left(3 \sqrt{2} x^{2} y-\sqrt{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
4\sqrt{2}\,x\,y^{2}\,dx \;+\;\bigl(3\sqrt{2}\,x^{2}y-\sqrt{2}\bigr)\,dy=0.
Isso envolve reconhecer se a equação é exata ou se admite fator integrante, e então encontrar a solução implícita.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=4\sqrt{2}\,x\,y^{2}, \quad N(x,y)=3\sqrt{2}\,x^{2}y-\sqrt{2}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =4\sqrt{2}\,x\cdot 2y =8\sqrt{2}\,x\,y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =3\sqrt{2}\cdot2x\,y =6\sqrt{2}\,x\,y.
Como \partial M/\partial y\neq \partial N/\partial x, não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(y) que dependa só de y. Usamos
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} =\frac{6\sqrt{2}xy - 8\sqrt{2}xy}{4\sqrt{2}x\,y^{2}} =\frac{-2\sqrt{2}x\,y}{4\sqrt{2}x\,y^{2}} =-\frac{1}{2y}.
Como isso depende apenas de y, temos
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac1{2y}\,dy\Bigr) =\exp\bigl(-\tfrac12\ln y\bigr) =y^{-1/2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^{-1/2}. Obtemos
M^*(x,y)\,dx+N^*(x,y)\,dy=0,
com
M^*(x,y)=4\sqrt{2}\,x\,y^{2}\,y^{-1/2} =4\sqrt{2}\,x\,y^{3/2},
N^*(x,y)=\bigl(3\sqrt{2}\,x^{2}y-\sqrt{2}\bigr)y^{-1/2} =3\sqrt{2}\,x^{2}y^{1/2}-\sqrt{2}\,y^{-1/2}.
Verificamos agora
\frac{\partial M^*}{\partial y} =4\sqrt{2}\,x\cdot\tfrac32\,y^{1/2} =6\sqrt{2}\,x\,y^{1/2} =\frac{\partial N^*}{\partial x},
logo a nova equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M^*(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N^*(x,y).
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int 4\sqrt{2}\,x\,y^{3/2}\,dx =4\sqrt{2}\,y^{3/2}\,\frac{x^{2}}{2} =2\sqrt{2}\,x^{2}y^{3/2}+h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} =2\sqrt{2}\,x^{2}\cdot\tfrac32\,y^{1/2}+h'(y) =3\sqrt{2}\,x^{2}y^{1/2}+h'(y).
Igualamos a N^*(x,y):
3\sqrt{2}\,x^{2}y^{1/2}+h'(y) =3\sqrt{2}\,x^{2}y^{1/2}-\sqrt{2}\,y^{-1/2},
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h'(y)=-\sqrt{2}\,y^{-1/2} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\int -\sqrt{2}\,y^{-1/2}\,dy =-2\sqrt{2}\,y^{1/2}.
Assim,
\Phi(x,y) =2\sqrt{2}\,x^{2}y^{3/2}-2\sqrt{2}\,y^{1/2}.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
2\sqrt{2}\,x^{2}y^{3/2}-2\sqrt{2}\,y^{1/2}=C,
onde C é constante de integração.

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